A lato è disegnato il grafico della funzione
4. Sia con . Quanti sono i punti del grafico di di ordinata 1? Il grafico di presenta punti di minimo, assoluti o relativi? Per quali valori reali di k l’equazione ha 4 soluzioni distinte?
Risposta dello staff
Ci viene chiesto per quali valori di x, , o meglio:
.
Vedendo il grafico di nell’intervallo considerato, questa avrà chiaramente due soluzioni distinte, chiamiamole e .
Per capire i punti di minimo, assoluti o relativi, dobbiamo notare che, nell’intervallo considerato, la funzione continua e derivabile e la sua derivata è:
.
Quindi,
dalla quale otteniamo che:
nei due punti che abbiamo citato prima, ovvero e .
, ricavato nel primo esercizio.
Ora, sapendo che in e la funzione assume il suo massimo, e che questa in 0 e in 2 si annulla (ammettendo così minimi assoluti in quei punti), avremo, per il teorema di Weierstrass, che per la funzione ammetterà un minimo relativo.
Da questa ricaviamo, senza grosse difficoltà che,
è crescente in e in , decrescente in e in .
avrà 4 soluzioni distinte solo se .
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