Problema 2.4 Scientifico 2014

A lato è disegnato il grafico \Gamma della funzione

    \[f(x)=x\sqrt{4-x^2}\]

4. Sia h(x)=sen(f(x)) con 0\leq x  \leq 2. Quanti sono i punti del grafico di h(x) di ordinata 1? Il grafico di h(x) presenta punti di minimo, assoluti o relativi? Per quali valori reali di k l’equazione h(x)= k ha 4 soluzioni distinte?

graficoproblemascientifico22014

Risposta dello staff

Ci viene chiesto per quali valori di x, h(x)=1, o meglio:

sen(f(x))=1 \iff f(x)=\frac {\pi}{2}.

Vedendo il grafico di f(x) nell’intervallo considerato, questa avrà chiaramente due soluzioni distinte, chiamiamole x_1 e x_2.

Per capire i punti di minimo, assoluti o relativi, dobbiamo notare che, nell’intervallo considerato, la funzione  continua e derivabile e la sua derivata è:

h'(x)=cos(f(x))f'(x).

Quindi,

h'(x)=0 \iff cos(f(x))=0 \quad \lor \quad f'(x)=0

dalla quale otteniamo che:

cos(f(x))=0 nei due punti che abbiamo citato prima, ovvero x_1 e x_2.

f'(x)=0 \iff x_3=\sqrt 2, ricavato nel primo esercizio.

Ora, sapendo che in x_1 e x_2 la funzione assume il suo massimo, e che questa in 0 e in 2 si annulla (ammettendo così minimi assoluti in quei punti), avremo, per il teorema di Weierstrass, che per x=\sqrt 2 la funzione ammetterà un minimo relativo.

Da questa ricaviamo, senza grosse difficoltà che,

h(x) è crescente in [0;x_1] e in [\sqrt 2;x_2], decrescente in [x_1;\sqrt 2] e in [x_2;2].

h(\sqrt2)=sen2

h(x)=k avrà 4 soluzioni distinte solo se sen2<k<1.

 

 

 

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