Quesito 6 Scientifico 2014

Un’azienda commercializza il suo prodotto in lattine da 5 litri a forma di parallelepipedo a base quadrata. Le lattine hanno dimensioni tali da richiedere la minima quantità di latta per
realizzarle. Quali sono le dimensioni, arrotondate ai mm, di una lattina?

 

Chiamiamo con x e y le dimensioni del parallelepipedo a base quadrata, dove x è la base e y l’altezza.

Di conseguenza avremo che:

V=x^2y

S=4xy+2x^2

Sappiamo che:

x^2y=5

y=\frac {5}{x^2}

Sostituendo nel calcolo della superficie, e poi, calcolandone la derivata otterremo il risultato:

S=\frac {20}{x}+2x^2

S'=-\frac {20}{x^2}+4x

Studiamo la positività della derivata prima:

-\frac {20}{x^2}+4x \geq0

\frac {4x^3-20}{x^2} \geq0

Imponendo che x>0 poichè è una dimensione del parallelepipedo, avremo solo da studiare:

4x^3-20 \geq 0

x^3 \geq 5

x \geq \sqrt[3] 5

Di conseguenza, il minimo si otterrà per

x=\sqrt[3]5

E, svolgendo i calcoli, otteniamo che anche:

y=\sqrt[3]5


 

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