Claudio scrive: Espressione con frazione algebrica e polinomi

Oggetto: Espressione con frazione algebrica e polinomi

Corpo del messaggio:
[(x+y)/x^2+2/(x-y)]:[y/x-(x+1)/(y+1)]:[1-1/(x+y+1)]:[1+2x^2/(x^2-y^2)]
risultato
(y+1)/x(y-x)

 

    \[\left[\frac {x+y}{x^2}+\frac {2}{x-y}\right]:\left[\frac yx - \frac {x+1}{y+1}\right]:\left[1-\frac {1}{x+y+1}\right]:\left[1+\frac {2x^2}{x^2-y^2}\right]=\]

    \[\left[\frac {x^2-y^2+2x^2}{x^2(x-y)}\right]:\left[\frac {y^2+y-x^2-x}{x(y+1)}\right]:\left[\frac {x+y+1-1}{x+y+1}\right]:\left[\frac {x^2-y^2+2x^2}{(x-y)(x+y)}\right]=\]

    \[\frac {3x^2-y^2}{x^2(x-y)}\cdot \frac {x(y+1)}{(y-x)(y+x)+(y-x)} \cdot \frac {x+y+1}{x+y} \cdot \frac {(x+y)(x-y)}{3x^2-y^2}=\]

    \[\frac {1}{x(x-y)} \cdot \frac {y+1}{(y-x)(y+x+1)} \cdot (x+y+1) \cdot (x-y)=\]

Notiamo che possiamo semplificare (x-y) e (y-x) ricordandoci del cambio segno. Otteniamo quindi:

    \[=\frac {y+1}{x(y-x)}.\]

 

 

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Luca scrive: Esercizio sistema semplice

Oggetto: Sistema semplice (trigonometria)

Corpo del messaggio:
Buonasera,

sarei grato se riusciste a risolvere il numero 510 (in foto).

Screenshot_2013-10-11-15-50-52
Vi ringrazio,
Luca.

 

\begin{cases} x+y=\pi \\ 2senx+2cosy=\sqrt 3 +1 \end{cases}

\begin{cases} x=\pi-y \\ 2sen(\pi-y)+2cosy=\sqrt 3 +1 \end{cases}

\begin{cases} x=\pi-y \\ 2(seny+cosy)=\sqrt 3 +1 \end{cases}

\begin{cases} x=\pi-y \\ seny+cosy=\frac {\sqrt 3 +1}{2} \end{cases}

\begin{cases} x=\pi-y \\ seny+cosy=\frac {\sqrt 3 }{2}+\frac {1 }{2} \end{cases}

Senza bisogno di fare grossi calcoli ci accorgiamo che la somma della seconda equazione riguarda proprio angoli noti, quindi:

y=\frac 16 \pi + 2k\pi \quad \lor \quad y=\frac 13 \pi + 2k\pi

e da qui ricaviamo pure l’altra incognita:

y=\frac 16 \pi + 2k\pi  \quad \wedge \quad x=\frac 56 \pi -2k\pi

y=\frac 13 \pi + 2k\pi  \quad \wedge \quad x=\frac 23 \pi -2k\pi

 

 

 

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Andrea scrive: Esercizio di algebra

Oggetto:

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image (1)

 

 

\begin{cases} \frac {x^4-6x^2+9}{x-1} \leq 0 \\ \frac {\left|x-8 \right|-1}{\sqrt{x+2}}>0 \end{cases}

Notiamo subito che la prima disequazione è pressochè immediata, essendo il numeratore un quadrato di binomio, che si annulla per x^2=3 \iff x=\pm \sqrt 3, mentre il denominatore è positivo per x \geq 1.

Per la seconda disequazione, bisognerà imporre l’esistenza della radice e studiare solo il numeratore.

Il sistema diventa quindi:

\begin{cases} x=\pm \sqrt 3 \quad \lor \quad x<1 \\ x>-2 \\ \left|x-8\right| >1\end {cases}

\begin{cases} x=\pm \sqrt 3 \quad \lor \quad x<1 \\ x>-2 \\ \x-8<-1 \quad \lor\quad x-8 >1\end {cases}

\begin{cases} x=\pm \sqrt 3 \quad \lor \quad x<1 \\ x>-2 \\ \x<7 \quad \lor\quad x >9\end {cases}

 

Dal grafico si evince che la soluzione è:

    \[-2<x<1 \quad \lor \quad x=-\sqrt 3.\]

 

 

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Nicola scrive: Esercizio disequazione

Oggetto:

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image (2)

 

 

    \[\left| \frac {3x-1}{2}+\frac {2x-1}{3}-\frac {4x-5}{6}\right| > \frac {x^2-x+6}{3}\]

    \[\left|\frac {9x-3+4x-2-4x+5}{6}\right|>\frac {x^2-x+6}{3}\]

    \[\left|\frac 96 x \right|>\frac {x^2-x+6}{3}\]

    \[\left | 9x \right| > 2x^2-2x+12\]

 

Si nota subito come il polinomio a destra sia sempre positivo, avendo il \Delta<0, quindi studieremo solo il caso in cui:

    \[9x>2x^2-2x+12\]

    \[2x^2-11x+12<0\]

    \[x_{\frac 12}=\frac {11 \pm \sqrt {121-96}}{4}=\frac {11 \pm \sqrt{25}}{4}=\frac {11 \pm 5}{4}\]

da cui, avremo la soluzione:

    \[\frac 64 < x < \frac {16}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac 32<x<4.\]

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Quintino scrive: Esercizio di geometria

Oggetto: problema geometrico

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Esercizio nella foto n 232

20131013_232351

 

Nel triangolo ABC si ha

AB=12 cm;

BC=8cm;

p=32cm

A (angolo)=50^\circ.

Calcola la misura del lato AC. Che tipo di triangolo è? Calcola l’ampiezza degli angol in B e C

 

Senza bisogno di grossi calcoli, sapendo il perimetro, calcoliamo la misura di AC:

AC=p-AB-BC=(32-12-8)\mbox { cm}=12 \mbox { cm}.

Avendo due lati uguali, il triangolo è isoscele, e quindi avrà i due angoli alla base uguali.

 

Per trovare le ampiezze dei due angoli uguali, basterà fare:

\widehat{B}=\widehat{C}=\frac {180^{\circ}-50^{\circ}}{2}=\frac {130^{\circ}}{2}=65^{\circ}.

 

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