Esercizi disequazioni di grado superiore al secondo 5

x^4-5x^2+4<0

Analizziamo l’equazione associata:

x^4-5x^2+4=0

Essendo una biquadratica possiamo riportarla come prodotto di due fattori di secondo grado, notando che è un trinomio particolare dove le due radici devono dare come somma -5 e come prodotto 4, quindi:

x^4-5x^2+4=(x^2-4)(x^2-1);

ma anche questi sono scomponibili in fattori di primo grado, quindi:

x^4-5x^2+4=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)

La disequazione diventerà:

(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)<0

Analizzando pezzo per pezzo otteniamo:

  • x-2>0 \, \, \Rightarrow \, \, x>2
  • x+2>0 \, \, \Rightarrow \, \, x>-2
  • x-1>0 \, \, \Rightarrow \, \, x>1
  • x+1>0 \, \, \Rightarrow \, \, x>-1.

Unendo tutti i risultati avremo:

(-\infty;-2) (-2;-1) (-1;1) (1;2) (2;+\infty)
x-2>0 —- —- —- —- +++
x+2>0 —- +++ +++ +++ +++
x-1>0 —- —- —- +++ +++
x+1>0 —- —- +++ +++ +++
+++ —- +++ —- +++

Non essendoci uguaglianze tutti gli intervalli saranno aperti, e essendo la disequazione iniziale minore di zero otterremo che, la disequazione:

(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)<0

ammetterà come soluzione:

-2<x<-1 \, \, \, \lor \, \, \, 1<x<2

oppure sotto forma di insiemi:

(-2;-1) \, \, \cup \, \, (1;2)

 

 

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