Integrali

Teoria sugli Integrali

Si considerano funzioni reali y=f(x) di una variabile reale, definite in un intervallo I, limitato o illimitato: in simboli y=f(x):I \subseteq R \rightarrow R. In relazione al calcolo differenziale si è osservato che la funzione derivata di una funzione, se esiste, è unica; ora si affronta il problema inverso alla derivazione, ovvero, considerata una funzione y=f(x), si valuta la possibilità di determinare una funzione che ammetta y=f(x) come sua funzione derivata.

Una funzione F(x) si dice primitiva di una funzione y=f(x):I \subseteq R \rightarrow R, se F(x) è derivabile nell’intervallo I e risulta F'(x)=f(x).

In base ai corollari del teorema di Lagrange, relativi alle funzioni costanti, si deduce che la funzione primitiva di una funzione non è unica; precisamente, se una funzione f(x) ammette una funzione primitiva F(x), allora ammette infinite funzioni primitive del tipo F(x) + k, \forall k \in R.

Si denomina integrale indefinito della funzione y=f(x) l’insieme di tutte e sole le funzioni primitive F(x)+k e si indica:

\int f(x) \mathrm{d}x.

La funzione f(x) è detta funzione integranda mentre x è la variabile di integrazione. Risulta che.

\int f(x) \mathrm{d}x = F(x) +k con F'(x)=f(x), \forall k \in R.

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