Integrali definiti

Quando parliamo di integrale definito, senza soffermarci troppo su elementi troppo teorici, parliamo di quella funzione che assume l’importante significato geometrico di area con segno; quindi, esiste una relazione fondamentale tra l’integrale definito di una funzione y=f(x) in un intervallo [a;b], e l’area A della regione piana delimitata dal grafico della funzione e dall’asse delle ascisse.

Precisamente diremo che:

  • se f(x)\ge 0 \forall x \in [a;b] \rightarrow A=\int^b_a f(x) \mathrm {d}x;
  • se f(x)\le 0 \forall x \in [a;b] \rightarrow A= -\int^b_a f(x) \mathrm {d}x.

Posto per definizione che:

  • \int_a^a f(x) \mathrm{d}x=0,
  • \int_a^b f(x) \mathrm{d}x= - \int_b^a f(x) \mathrm{d}x,

l’integrale definito soddisfa importanti proprietà:

  • l’integrale definito è un’operatore lineare:

\int_a^b [h_1f_1(x) + h_2f_2(x)+...+ h_nf_n(x)] \mathrm{d}x=h_1 \int_a^b f_1(x) \mathrm{d}x + h_2 \int_a^b f_2(x) \mathrm{d}x + ... + h_n \int_a^b f_n(x) \mathrm{d}x,

  • Additività dell’integrale definito rispetto all’intervallo di integrazione. Se y=f(x) è una funzione continua nell’intervallo [a;b] risulta:

\int_a^b f(x) \mathrm{d}x= \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x, \forall c \in ]a;b[.

  • Confronto tra gli integrali definiti di due funzioni.

Se y=f(x) e y=g(x) sono due funzioni continue, tali che f(x) \leq g(x), \forall x \in [a;b], risulta:

\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x) \mathrm{d}x.

  • Integrale del valore assoluto di una funzione.

Se y=f(x) è una funzione continua nell’intervallo [a;b] risulta:

|\int_a^b f(x) \mathrm{d}x| \leq \int_a^b |f(x)| \mathrm{d}x .

 

 

 

 

 

 

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