Archivi categoria: Derivate

Maria Elena scrive: derivata 2 di funzione

Oggetto: derivata 2 di funzione

Corpo del messaggio:
Salve,
e grazie in anticipo x l’aiuto.Partendo dalla funzione fratta
(1-3x)/(1-x), sono arrivata alla D’ 2/(X-1)^2. Da qui la D”  sarebbe (x-1)^2 -2*2*(x-1)/(x-1)^4   (gli asterischi sono per la moltiplicazione).  Raccolgo (x-1) che moltiplica (x-1)-4 e lo semplifico con il denominatore
Il mio risultato finale è x-5/(x-1)^3 invece  al numeratore dovrebbe venire solo -4.

Risposta dello staff

Riscriviamo tutto dall’inizio.

f(x)=\frac{1-3x}{1-x}

f'(x)= \frac{-3(1-x)-(1-3x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{-3+3x+1-3x}{(1-x)^2}=\frac{-2}{(1-x)^2}

Continua la lettura di Maria Elena scrive: derivata 2 di funzione

(Questa pagina è stata visualizzata da 49 persone)

Mariaelena scrive: derivate

Oggetto: derivate

Corpo del messaggio:
Salve,
ho un problema con lo svolgimento di un vs esercizio sulle derivate.
Y=1/logX
Io l’ho svolto come il reciproco di una funzione, e quindi al num. l’opposto della derivata del denom.(-1/x) e il denominat. al quadrato->  -1/x/log^2X
voi invece l’avete svolto con la regola del quoziente: 0 *logX -1/X*1 DIVISO log^2X.
Potete aiutarmi a capire??
grazie

 

Risposta dello staff

 

Ciao il risultato è lo stesso. Noi lo abbiamo scritto in un formalismo differente ma puoi usare assolutamente la tua soluzione.

Alla prossima

(Questa pagina è stata visualizzata da 31 persone)

Filippo scrive: studio di funzione trigonometrica

Oggetto: studio di funzione trigonometrica

Corpo del messaggio:
Svolgere lo studio della seguente funzione:
f(x)= x+2sen(2x)

non riesco a capire come utilizzare la x davanti al seno o integrarla in un qualche modo.
Grazie mille!

 

Risposta dello staff

f(x)= x+2sen(2x)

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale intera, il dominio è tutto R:

Continua la lettura di Filippo scrive: studio di funzione trigonometrica

(Questa pagina è stata visualizzata da 68 persone)

Eleonora scrive: Massimo di una funzione

Oggetto: Massimo di una funzione

Corpo del messaggio:
Trovare il punto di massimo relativo di f(x)=sen(x)+(1/2)x nell’intervallo 0<x<2pigreco

grazie

Risposta dello staff

Studiamo la derivata prima di questa funzione:

f'(x)=cos(x)+\frac12

Quindi avremo che:

Continua la lettura di Eleonora scrive: Massimo di una funzione

(Questa pagina è stata visualizzata da 75 persone)

Filippo scrive: minimo di una funzione

Oggetto: minimo di una funzione

Corpo del messaggio:
Trovare il minimo della funzione \sqrt{x^3-x^2} nell’intervallo 0<x<1

Grazie mille

Risposta dello staff

Studiamo subito il dominio della funzione per notare una cosa:

x^3-x^2 \geq 0

x^2(x-1)\geq 0

x \geq 1

D=\{0\} \quad \cup \quad [1;+\infty[

L’intervallo considerato non appartiene al dominio…

 

(Questa pagina è stata visualizzata da 58 persone)

Anna scrive: Risoluzione di limiti di funzione

Calcolare i limiti per x che tende a 0 e a infinito di xe^1/x -x

Analizziamone uno alla volta:

    \[\lim_{x \to 0} xe^{\frac 1x}-x=\infty\]

Senza fare grossi calcoli, notando che e^{\frac 1x} \to \infty per x \to 0, e quindi, a prescindere dalla presenza del polinomio, questo limite tenderà ad infinito. Il segno dipenderà dal segno dello 0.

    \[\lim_{x \to \infty} xe^{\frac 1x}-x=\lim_{x \to \infty} x\left( e^{\frac 1x} -1\right)\]

Ora, ricordando il limite notevole:

    \[\lim_{t \to 0} \left( e^{t} -1\right)=t\]

allora avremo che:

    \[\lim_{x \to \infty} x\left( e^{\frac 1x} -1\right)=\lim_{x \to \infty} x\cdot {\frac 1x}=1\]

(Questa pagina è stata visualizzata da 59 persone)

Anna scrive: Risoluzione di uno studio di funzione

Studiare la funzione x^2-3x+2 tutto diviso x ^2 .determinare inoltre l’area di piano cartesiano racchiusa tra la funzione e l’asse delle ascisse.

 

Risposta dello staff

 

    \[f(x)=\frac {x^2-3x+2}{x^2}\]

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore, ovvero 0, e quindi il dominio è tutto  \mathbb{R}-\{0\}, o scritto sotto forma di intervalli:

    \[D=]-\infty; 0[ \quad \cup \quad ]0;+\infty [\]

  • Simmetrie e periodicità

-f(x)=-\frac {x^2-3x+2}{x^2}

f(-x)=\frac {x^2+3x+2}{x^2}

Questa funzione non avrà simmetrie.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} y=0 \\ x^2-3x+2= 0 \end{cases}

\begin{cases} y=0 \\ x= 1 \quad \lor \quad x=2 \end{cases}

La funzione avrà due intersezioni con gli assi:

\left (1;0 \right) e \left (2;0 \right)

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

\frac {x^2-3x+2}{x^2} \geq 0

Studiamo solo il numeratore, in quanto il denominatore, nel dominio, è sempre positivo, quindi:

x^2-3x+2 \geq 0 \rightarrow x\leq 1 \quad \lor \quad x \geq 2

Di conseguenza, intersecando la soluzione al dominio, otteniamo:

f(x) >0 \iff x <0 \quad \lor \quad 0<x<1 \quad \lor \quad x>2

f(x) <0 \iff 1<x<2

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 1\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 0^-} f(x)= +\infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 0^+} f(x)= +\infty\]

  • Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in y=1

La funzione avrà asintoto verticale in x=0.

  • Studio della derivata prima

y'=\frac {x^2(2x-3)-2x(x^2-3x+2)}{x^4}=\frac {2x^3-3x^2-2x^3+6x^2-4x}{x^4}= \frac {3x^2-4x}{x^4}=\frac {3x-4}{x^3}

y' \geq 0

\frac{3x-4}{x^3} \geq0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

3x-4 \geq 0 \iff x \geq \frac 43

x^3 > 0 \iff x >0

La disequazione è quindi verificata per x< 0 \quad \lor \quad  x \geq \frac 43

La funzione sarà quindi crescente in ]-\infy;0] ed in ]\frac 43;+\infty[ e decrescente in ]0;\frac 43[.

Ammetterà quindi un minimo di ascissa x=\frac 43.

 

  • Studio della derivata seconda

y''=\frac {3x^3-3x^2(3x-4)}{x^6}=\frac {3x^3-9x^3+12x^2}{x^6}=\frac {12x^2-6x^3}{x^6}=\frac {6(2-x)}{x^4}

y''\geq 0

\frac {6(2-x)}{x^4} \geq0

Il denominatore è sempre positivo nel dominio e quindi rimane solo da studiare il numeratore:

2-x \geq 0 \rightarrow x \leq 2

Mettendo insieme tutti i risultati avremo che la funzione avrà concavità verso l’alto negli intervalli ]-\infty; 0 [ e ]0;2[ concavità verso il basso nell’intervall0 ]2 ;+\infty[.

Quindi avrà 1 punti di flesso in (2;0),

Infine ci viene chiesto di calcolare l’integrale della funzione tra 1 e 2:

\int_1^2 \frac {x^2-3x+2}{x^2} \, dx=\int_1^2 \left(1-\frac 3x + \frac {2}{x^2} \right)\, dx

Studiando i singoli integrali avremo che:

\int_1^2 \, dx=\left[x\right]_1^2=2-1=1

\int_1^2 -\frac 3x \, dx=\left[-3logx\right]_1^2=-3log2-0=-3log2

\int_1^2  \frac {2}{x^2} \right)\, dx=\left[-\frac 2x\right]_1^2=-1+2=1

L’area richiesta sarà quindi:

A=1-3log2+1=2-3log2

(Questa pagina è stata visualizzata da 64 persone)

Vanessa scrive: Esercizio sulle funzioni

Oggetto: Esercizio sulle funzioni

Corpo del messaggio:
Una ditta di spedizioni ha un volume di affari che produce un ricavo giornaliero dato dalla funzione

y=x(20-x)^2-10000

dove  x indica il numero di pacchi spediti giornalmente.

Quanti pacchi devono essere spediti giornalmente per ottenere il massimo ricavo? A quanto ammonta il guadagno giornaliero?

 

Risposta dello staff

 

La funzione ci indica i ricavi, quindi, facendo la derivata di questa funzione, possiamo calcolare direttamente quale potrebbe essere il massimo e/o il minimo:

y=x(400-40x+x^2)-10000

y=x^3-40x^2+400x-10000

Studiamo la derivata prima:

y'=3x^2-80x+400

Studiando la positività di questa, ricaveremo il valore massimo:

3x^2-80x+400 \geq0

x_{\frac 12}=\frac {80 \pm \sqrt{6400-4800}}{6}=\frac {80 \pm \sqrt{1600}}{6}=\frac {80 \pm 40}{6}

x_1=\frac{20}{3}

x_2=20

 

Succede che, per 0<x<\frac{20}{3}, la funzione è crescente, e quindi, da 0 a 7 pacchi le perdite diminuiranno.

 

Per \frac{20}{3}<x<20 la funzione è decrescente e quindi si arriverà ad avere per x=20 di nuovo -10000, minimo.

 

A quel punto, da li in poi è crescente, ma cresce all’infinito…

(Questa pagina è stata visualizzata da 54 persone)

Luca scrive: Funzione

Oggetto: Funzione

Corpo del messaggio:
Data la funzione:

f(x)=x^2[1+sen(1/x)] se x diverso da 0, f(0)=0

1) Studiare continuità e derivabilità di f nel suo dominio
2) Esiste un valore massimo assunto da f? Esiste un valore minimo assunto da f?
3) é vero che f(x)>0 in un opportuno intorno dell’origine delle coordinate?
e l’altro è:

Si consideri la funzione f(x)= (1+|lnx|)/(1+lnx)
1) dire dominio di f
2)dopo aver studiato la positività, calcolare i limiti agli estremi.
3)Calcolare,se esistono, f'(1),f'(4) (f’ denota la derivata di f)
4) Dire se esistono a>1 t.c. integrale definito dove a= 1 e b=a di (f(x)dx=0)

 

Risposta dello staff

  • f(x)=x^2\left[1+sen(\frac 1x ) \right]

1) Il dominio della funzione è \mathbb{R}.

Per studiare la continuità, ci basta studiare cosa succede per x=0, visto che per tutti gli altri valori, la funzione ha sempre valore:

    \[\lim_{x \to 0^\pm} x^2\left[1+sen\left(\frac 1x \right) \right] =\lim_{x \to 0^\pm} x^2\left[1+\frac 1x \right] =\]

Continua la lettura di Luca scrive: Funzione

(Questa pagina è stata visualizzata da 76 persone)

Esercizio 2 Matematica Generale

Utilizzando la definizione di derivata e uno dei limiti notevoli, verificare che

    \[\left(\frac 13 e^{3x-3}\right)'=e^{3x-3}\]

 

Risposta dello staff

La definizione di derivata ci dice che:

    \[f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]

Sfruttando la definizione sostituiamo la funzione in essa:

    \[f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac {\frac 13 e^{3(x_0+h)-3}-\frac 13 e^{3x_0-3}}{h}=\]

    \[= \frac 13 \lim_{h \to 0} \frac { e^{3x_0-3}e^{3h}- e^{3x_0-3}}{h}=\]

    \[= \frac 13 \lim_{h \to 0} \frac { e^{3x_0-3}\left(e^{3h}- 1\right)}{h}=\]

Ricordando il limite notevole:

    \[\lim_{t \to 0} \frac {e^{t}- 1}{t}=1\]

avremo che:

    \[= \frac 13 \cdot  3e^{3x_0-3} \frac {\lim_{h \to 0} \left(e^{3h}- 1\right)}{3h}=\]

    \[= e^{3x_0-3}\]

(Questa pagina è stata visualizzata da 44 persone)

Esercizio 4 Matematica Generale

Scrivere l’equazione della retta tangente nel punto (1,f(1)) al grafico di f(x)=e^{x-x^2}.

Risposta dello staff

Per calcolare l’equazione della retta tangente al grafico nel punto considerato, ci serve innanzitutto calcolare il valore della funzione per la x succitata, e poi calcolare il valore della derivata calcolata nello stesso punto (che ci darà il coefficiente angolare della retta.

f(1)=e^{0}=1

f'(x)=(1-2x)e^{x-x^2}

f'(1)=-1

La retta tangente sarà quindi:

y-y_P=m(x-x_P)

y-1=-(x-1)

y=-x+2

 

(Questa pagina è stata visualizzata da 42 persone)

Giuseppe scrive: Esercizio massimo e minimi

 

Massimi e minimi di una funzione potete aiutarmi !!!
Z= 5x^3 + 7x^2 -6x

Risposta dello staff

Il dominio di questa funzione è tutto \mathbb{R}; andiamo a calcolare la derivata prima:

    \[z'=15x^2+14x-6\]

Calcoliamo la positività della derivata prima:

15x^2+14x-6 \geq 0

x_{\frac 12}=\frac {-14 \pm \sqrt {196+360}}{30}=\frac {-14 \pm \sqrt {556}}{30}=\frac {-14 \pm 2\sqrt {139}}{30}=\frac {-7 \pm \sqrt {139}}{15}

avremo quindi che la derivata prima è positiva per x < \frac {-7 - \sqrt {139}}{15} e per x> \frac {-7 + \sqrt {139}}{15}, e quindi queste sono rispettivamente le ascisse dei punti di massimo e minimo.

 

 

(Questa pagina è stata visualizzata da 58 persone)

Eleonora scrive: Esercizio

Corpo del messaggio:
Salve,potreste aiutarmi a svolgere questi esercizi? Grazie in anticipo! 🙂
Ricercare gli asintoti verticali,orizzontali e obliqui :

  •  y=\frac {x+3}{x^2+4x+4}
  • y= \frac {4x^3-1}{x^2-4}

 

 

Risposta dello staff

Ricordando che asintoti obliqui e orizzontali non possono verificarsi contemporaneamente, analizziamo i due casi:

 

    \[y = \frac {x+3}{x^2 +4x+4}\]

 

Il dominio di questa funzione sarà:

    \[D= \mathbb{R} -- \{ -2\}\]

da cui, l’asintoto verticale risulterà proprio x=-2:

    \[\lim_{x \to -2}f(x)=\infty\]

L’asintoto orizzontale si otterrà risolvendo:

    \[\lim_{x \to \infty}f(x)=0\]

Quindi la funzione ammetterà come asintoto orizzontale: y=0, ovvero l’asse delle ascisse.

 

 

    \[y = \frac {4x^3-1}{x^2-4}\]

 

Il dominio di questa funzione sarà:

    \[D= \mathbb{R} -- \{ \pm 2\}\]

da cui, risulterà avere due asintoti verticali x=\pm 2:

    \[\lim_{x \to \pm 2}f(x)=\infty\]

Essendo il grado del numeratore superiore a quello del denominatore di sicuro non ci sarà l’asintoto orizzontale. Ma ci può essere quello obliquo, y=mx+q, ottenendo m e q dalle seguenti equazioni:

    \[m=\lim_{x \to \pm \infty}\frac {f(x)}{x}=\lim_{x \to \pm \infty}\frac {4x^3-1)}{x^3-4x}=4\]

    \[q=\lim_{x \to \pm \infty} f(x)-mx=\lim_{x \to \pm \infty}\frac  {4x^3-1}{x^2-4}-4x=\lim_{x \to \pm \infty}\frac  {4x^3-1-4x^3+16x}{x^2-4}=\lim_{x \to \pm \infty}\frac  {16x-1}{x^2-4}\]

Si evince che q=0, e quindi la funzione ammetterà come asintoto obliquo: y=4x, ovvero l’asse delle ascisse.

 

(Questa pagina è stata visualizzata da 69 persone)

Daniela scrive: Esercizi sulle derivate

Oggetto:

Corpo del messaggio:
per la funzione z= √x+y^2
la derivata parziale prima rispetto a x è f'(x)= 1/2 √ x+y^2
la derivata parziale rispetto a y è:
f’ (y)= y/√x+y^2

Per la derivata seconda (fxx,fyy,fxy, fyx)?

 

Risposta dello staff

No…Ci sono degli errori:

    \[z=\sqrt {x + y^2}\]

    \[f'(x)=\frac {1}{2\sqrt {x+y^2}}\]

    \[f'(y)=\frac {2y}{2\sqrt {x+y^2}}=\frac {y}{\sqrt {x+y^2}}\]

Calcoliamo le derivate seconde:

    \[f''_{xx}=-\frac {1}{4 }(x+y^2)^{-\frac 32}\]

    \[f''_{yy}=x(x+y^2)^{-\frac 32}\]

    \[f''_{xy}=f''_{yx}=-\frac y2 (x+y^2)^{-\frac 32}\]

 

 

(Questa pagina è stata visualizzata da 168 persone)