Esercizio 2 Matematica Generale

Utilizzando la definizione di derivata e uno dei limiti notevoli, verificare che

    \[\left(\frac 13 e^{3x-3}\right)'=e^{3x-3}\]

 

Risposta dello staff

La definizione di derivata ci dice che:

    \[f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]

Sfruttando la definizione sostituiamo la funzione in essa:

    \[f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac {\frac 13 e^{3(x_0+h)-3}-\frac 13 e^{3x_0-3}}{h}=\]

    \[= \frac 13 \lim_{h \to 0} \frac { e^{3x_0-3}e^{3h}- e^{3x_0-3}}{h}=\]

    \[= \frac 13 \lim_{h \to 0} \frac { e^{3x_0-3}\left(e^{3h}- 1\right)}{h}=\]

Ricordando il limite notevole:

    \[\lim_{t \to 0} \frac {e^{t}- 1}{t}=1\]

avremo che:

    \[= \frac 13 \cdot  3e^{3x_0-3} \frac {\lim_{h \to 0} \left(e^{3h}- 1\right)}{3h}=\]

    \[= e^{3x_0-3}\]

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