Esercizio 1 Problema di geometria piana risolubili con l’uso della trigonometria.

Traccia

Di un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, si sa che il rapporto tra AC e AB è \frac {\sqrt 3}{3}. Determinare gli angoli del triangolo.

Svolgeremo questo esercizio con i radianti. Se ci fossero problemi con il loro utilizzo, basta eseguire la seguente sostituzione:

\pi=180^\circ.

 

Svolgimento

triangolo isoscele

 

Denotiamo con:

\widehat{A C B} = \alpha

\widehat{B A C} =\widehat{A B C}= \beta, in quanto angoli alla base di un triangolo isoscele.

Applicando il teorema dei seni si ha

\frac {AC}{sen \beta}=\frac {AB}{sen(\pi-2\beta)},

da cui avremo che, ricordandoci delle formule sui seni, ovvero:

sen(\pi-2\beta)=sen(2\beta)=2sen(\beta)cos(\beta).

Sfruttando queste trasformazioni otteniamo:

 

\frac {AC}{AB}=\frac {\sqrt 3}{3}=\frac {sen \beta}{sen(\pi−2\beta)}=\frac {1}{2cos\beta}.

Uguagliando il secondo e il quarto membro otterremo.

2cos(\beta)=\frac {3}{\sqrt 3}

cos(\beta)=\frac {3\sqrt 3}{6}

cos(\beta)=\frac {\sqrt 3}{2}

E di conseguenza la soluzione sarà:

\beta=\frac {\pi}{6},

e

\alpha=\frac {2}{3}\pi.

 

 

 

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