Esercizio 3 Problema di geometria piana risolubili con l’uso della trigonometria

Traccia

In un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza di raggio r, la somma del doppio dell’altezza con il triplo del lato è 4r. Determinare l’ampiezza dell’angolo al vertice.

 

 

Svolgimento

triangolo isoscele inscritto

 

Per comodità, imponiano che sia ABC un triangolo isoscele di base AB; per costruzione sappiamo che l’altezza relativa alla base divide essa stessa in due parti uguali ed, essendo il triangolo inscritto in una circonferenza allora è chiaro che l’altezza CH deve giacere lungo un diametro

Indicando con D l’intersezione tra il prolungamento dell’altezza e la circonferenza è facile osservare che il triangolo ACD è retto in  A dato che la corda sottesa dall’angolo alla circonferenza A coincide con il diametro ( o meglio, ACD è inscritto in una semicirconferenza).

Sia \alpha l’angolo alla base del triangolo isoscele ABC, per il teorema della corda si ha che

    \[AC = l = 2 r sen(\alpha)\]

Occorre esprimere l’altezza CH = h in termini del lato l e del raggio r

Si osserva che

    \[CH = CD - HD = 2 r - HD\]

,  dunque occorre ricavare HD.

Calcolo dapprima AD applicando il teorema di Pitagora al triangolo ACD

    \[(AD)^2 = (CD)^2 - (AC)^2 = 4 r^2 -l^2\]

poi applico il teorema di Talete al triangolo rettangolo ACD

    \[(AD)^2 = CD  \cdot HD = 2 r HD\]

da cui

    \[HD =\frac {AD^2 }{ 2r} =\frac {4 * r^2 - l^2}{2r}\]

.

 

Possiamo quindi ricavare:

CH=2r- \frac {4r^2-l^2}{2r}=\frac {4r^2-4r^2+l^2}{2r}=\frac {l^2}{2r}=\frac {4r^2sen^2(\alpha)}{2r}=2rsen^2(\alpha)

Dalla traccia sappiamo che:

2CH+3AC=4r

e quindi:

2(2rsen^2(\alpha) + 3 (2rsen(\alpha))-4r=0

4rsen^2(\alpha)+6rsen(\alpha)-4r=0

Dividiamo tutto per 2r e otteniamo:

2sen^2(\alpha)+3sen(\alpha)-2=0

sen(\alpha)_{\frac 12}=\frac {-3 \pm \sqrt {9+16}}{4}=\frac {-3 \pm 5}{4}

Ovviamente non consideriamo la soluzione negativa perchè la funzione seno può assumere solo valori compresi tra -1 e 1.

Quindi accettiamo come soluzione solo:

sen(\alpha)=\frac 12

da cui, non consideriamo la soluzione 150^\circ perchè imporrebbe che la somma degli angoli interni sia maggiore di 180^\circ.

Unica soluzione accettabile sarà infine.

\alpha= 30^\circ

Ora, sapendo l’angolo alla base del triangolo, ricaviamo finalmente l’angolo al vertice:

\widehat{ACB}=180^\circ-2\cdot 30^\circ=120^\circ

 

 

 

 

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