Esercizio 5 Problema di geometria piana risolubili con l’uso della trigonometria

Traccia

  1. In un quadrato ABCD si consideri sul lato AD il punto M tale che sen (ABM) = \frac {\sqrt 5}{5} e sul lato CD il punto N tale che tg (NBC) = \frac 34. Sapendo che il lato del quadrato ha per misura 8, si trovino:
  • la misura del perimetro e l’area del triangolo MBN
  • il sen (MBN) dopo aver verificato che il triangolo MBN è rettangolo
  • la misura del raggio della circonferenza circoscritta a MBN

Svolgeremo questo esercizio con i radianti. Se ci fossero problemi con il loro utilizzo, basta eseguire la seguente sostituzione:

\pi=180^\circ.

 

Svolgimento

quadrato

 

Dai dati abbiamo giusto qualche informazione che possiamo ampliare trovando tutte le varie funzioni trigonometriche oltre a quelle forniteci.

Sappiamo che:

sen (ABM) =\frac {\sqrt {5}}{5},

quindi, considerando di prendere in considerazione solo il risultato positivo del coseno, e sfruttando l’uguaglianza

sen^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1, avremo

cos (ABM)=\sqrt {1-sen^2 (ABM)}=\sqrt{1-\frac {1}{5}}=\sqrt {\frac 45}=\frac {2}{\sqrt 5}=\frac {2\sqrt 5}{5}

tg(ABM)=\frac {sen(ABM)}{cos(ABM)}=\frac 12.

Allo stesso modo, avremo:

tg(NBC)=\frac 34

sen(NBC)=\frac 34 cos (NBC)

Riportando tutto sulla relazione fondamentale avremo:

sen^2(NBC)+cos^2(NBC)=1

\frac {9}{16} cos^2(NBC)+cos^2(NBC)=1

\frac {25}{16}cos^2(NBC)=1

cos^2(NBC)=\frac {16}{25}

cos(NBC)=\frac 45

e così:

sen(NBC)=\frac 35

 

Dal grafico ora posiamo iniziare ad ottenere:

AB=MB \cdot cos (ABM)

MB=\frac {AB}{cos(ABM)}=4 \sqrt 5

Allo stesso modo:

NB=\frac {CB}{cos(NBC)}=10

Osservando la figura notiamo come:

\widehat{NBC}+ \widehat{NBM}+\widehat{ABM}=90^\circ

Così avremo che:

\widehat{NBM}=90-\widehat{NBC}- \widehat{ABM}

e, sapendo che:

cos (90-\alpha)=sen(\alpha), avremo:

cos(\widehat{NBM}=cos(90-\widehat{NBC}- \widehat{ABM})

da cui:

cos(\widehat{NBM}=sen(\widehat{NBC}+ \widehat{ABM}).

Ricordando che:

sen(\alpha+\beta)=sen(\alpha)cos(\beta)+sen(\beta)cos(\alpha), otteniamo:

cos(\widehat{NBM})=\frac 35 \cdot \frac {2\sqrt 5}{5} + \frac 45 \cdot \frac {\sqrt 5}{5}=\frac {6\sqrt 5}{25}+\frac {4\sqrt 5}{25}=\frac {10\sqrt5}{25}=\frac {2\sqrt 5}{5}.

Utilizziamo il teorema di Carnot per ottenere:

MN^2=MB^2+NB^2-2MB \cdot NB \ cdot cos(NBM)

MN^2=80+100-80\sqrt 5 \frac {2\sqrt 5}{5}

MN^2=180-160=20

MN=2\sqrt 5

Dal teorema di Carnot, però, si nota che il triangolo BMN è rettangolo, con ipotenusa NB!!!

Proviamo a verificare:

NB^2=MB^2+MN^2

100=80+20

100=100!!!

Questo ci permetterà di calcolare in 2 secondi l’area!!!

Il perimetro sarà:

2p=2\sqrt 5+10+4\sqrt 5=10+6\sqrt 5=2(5+3\sqrt5).

e l’area:

A_{NBM}=\frac {BM \cdot NM}{2}=\frac {4\sqrt 5 \cdot 2\sqrt 5}{2}=20

Calcoliamo ora la seconda parte:

sen(NBM)=\sqrt {1-cos^2(NBM)}=\sqrt {1-\frac 45}=\sqrt {\frac 15}=\frac {\sqrt 5}{5}.

Beh, sapendo che MNB è un triangolo rettangolo per costruzione, sappiamo per certo che NB risulterà essere il diametro della circonferenza e quindi:

r=\frac 12 (NB)=\frac 12 \cdot 10=5

 

 

 

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