Problema 1.1 PNI 2010

PROBLEMA 1
In figura è riportato il grafico di g(x) per -2\leq x \leq 5, essendo g la derivata di una funzione  f. Il grafico consiste di tre semicirconferenze con centri in (0, 0), (3, 0), (9/2 , 0) e raggi rispettivi 2, 1 e \frac 12.

1. Si scriva un’espressione analitica di g(x). Vi sono punti in cui g(x) non è derivabile? Se sì, quali sono? E perchè?

 

Le equazioni delle tre circonferenze sono:

    \[x^2+y^2 = 4 \rightarrow y=\sqrt {4-x^2}\]

    \[(x-3)^2+y^2 = 1 \rightarrow y=\sqrt {\frac 14-(x-\frac 92)^2}\]

    \[(x-\frac 92)^2+y^2 = (\frac 12)^2 \rightarrow y=\sqrt { 1-(x-3)^2}.\]

La funzione g avrà quindi la seguente forma, tenendo conto degli intervalli di esistenza delle singole funzioni:

 

    \[g: \begin{cases} y=\sqrt {4-x^2} \quad \quad -2 \leq x \leq 2 \\ y=\sqrt {\frac 14-(x-\frac 92)^2}  \quad \quad 2 \leq x \leq 4\\   y=\sqrt { 1-(x-3)^2} \quad \quad 4 \leq x \leq 5 \end{cases}\]

 

Questa funzione è continua nell’intervallo tra -2 e 5, e i soli punti interni dove la funzione non sarà derivabile sono i punti x=2 e x=4, mentre non ci sarà derivata destra in x=-2 e sinistra in x=5.

 

 

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