Problema 1.3 PNI 2010

PROBLEMA 1
In figura è riportato il grafico di g(x) per -2\leq x \leq 5, essendo g la derivata di una funzione  f. Il grafico consiste di tre semicirconferenze con centri in (0, 0), (3, 0), (9/2 , 0) e raggi rispettivi 2, 1 e \frac 12.

3. Se f(x)=\int_{-2}^x  g(t)dt, si determini f(4) e f(1).

Si può calcolare f(4) sfruttando il significato geometrico (l’integrale definito esprime l’area della regione compresa tra il grafico della funzione, l’asse x e le due rette parallele all’asse y descritte dagli estremi d’integrazione) di integrale:

    \[f(4)=\int_{-2}^2 g(t)dt+\int_2^4 g(t)dt=A(s_1)−A(s_2)=\frac 12 \pi r_1^2-\frac 12 \pi r_2^2=\frac 12 \pi 2^2-\frac 12 \pi 1^2=\frac 32 \pi.\]

Calcoliamo similmente f(1), poichè si può ottenere come somma delle aree del triangolo rettangolo – in figura evidenziato in verde – e del settore circolare – in figura di colore giallo – (il triangolo ha base unitaria e ipotenusa pari a 2, l’ampiezza dell’angolo con vertice in O è di 60 gradi):

    \[f(1)=A(\Delta)+A(sett)=\frac {\sqrt 3}{2} + \frac 12 \alpha r_1^2=\frac {\sqrt 3}{2}+\frac 12 \frac 23 \pi \cdot 2^2=\frac {\sqrt 3}{2}+\frac 43 \pi.\]

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