Problema 1.4 PNI 2010

PROBLEMA 1
In figura è riportato il grafico di g(x) per -2\leq x \leq 5, essendo g la derivata di una funzione  f. Il grafico consiste di tre semicirconferenze con centri in (0, 0), (3, 0), (9/2 , 0) e raggi rispettivi 2, 1 e \frac 12.

4. Si determinino i punti in cui la funzione f ha derivata seconda nulla. Cosa si può dire sul segno di f(x)? Qual è l’andamento qualitativo di f(x)?

 

Per determinare i punti dove si annulla la derivata seconda di f si può anche non calcolarla esplicitamente, ma basta soffermarsi sull’andamento di g(x), ricordando che, per quanto detto prima, f ''=g'. Basta quindi calcolare i punti dove g presenta rette a tangente orizzontali (x=3, x=0, x=9/2 che in pratica sono le ascisse dei centri delle tre semicirconferenze in cui il grafico è diviso).

Per quanto riguarda il segno della funzione f, si può dedurre rivedendo l’integrale definito e considerando la sua interpretazione geometrica come risultante dell’area sottesa alla curva di f. Per x=-2:

    \[f(−2)=\int_{-2}^2 g(t)dt=0.\]

All’aumentare di x, avrò questa serie di valori per l’integrale definito:

    \[f(−1)=\frac 23 \pi -\frac{\sqrt 3}{2}\]

    \[f(1)=\frac 43 \pi +\frac{\sqrt 3}{2}\]

    \[f(0)=\pi\]

    \[f(2)=2 \pi\]

    \[f(3)=\frac 74 \pi\]

    \[f(4)=\frac 32 \pi\]

    \[f(\frac 92)=\frac {25}{16}\pi\]

    \[f(5)=\frac {13}{8} \pi\]

In pratica, l’andamento descritto finora in base ad osservazioni geometriche e coerente con lo studio del segno di g ci suggerisce che f è monotona crescente per -2\ leq x \leq 2 e per  4\leq x \leq 5, è monotona decrescente per 2<x< 4. Inoltre per x=2 la funzione raggiunge il suo massimo assoluto, mentre x=4 è un suo punto di minimo relativo. La funzione presenta tre punti di flesso per x=0, x=3, x=\frac 92.

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