PROBLEMA 1
In figura è riportato il grafico di per
, essendo
la derivata di una funzione
. Il grafico consiste di tre semicirconferenze con centri in
e raggi rispettivi 2, 1 e
.
4. Si determinino i punti in cui la funzione ha derivata seconda nulla. Cosa si può dire sul segno di
? Qual è l’andamento qualitativo di
?
Per determinare i punti dove si annulla la derivata seconda di si può anche non calcolarla esplicitamente, ma basta soffermarsi sull’andamento di
, ricordando che, per quanto detto prima,
. Basta quindi calcolare i punti dove
presenta rette a tangente orizzontali (x=3, x=0, x=9/2 che in pratica sono le ascisse dei centri delle tre semicirconferenze in cui il grafico è diviso).
Per quanto riguarda il segno della funzione , si può dedurre rivedendo l’integrale definito e considerando la sua interpretazione geometrica come risultante dell’area sottesa alla curva di
. Per
:
All’aumentare di , avrò questa serie di valori per l’integrale definito:
In pratica, l’andamento descritto finora in base ad osservazioni geometriche e coerente con lo studio del segno di ci suggerisce che
è monotona crescente per
e per
, è monotona decrescente per
. Inoltre per
la funzione raggiunge il suo massimo assoluto, mentre
è un suo punto di minimo relativo. La funzione presenta tre punti di flesso per
.
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