Problema 1.2 P.N.I. 2012

Della funzione f, definita per 0 \leq x \leq 6 , si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua  derivata f '(x), disegnato a lato, presenta due tangenti orizzontali per x = 2 e x = 4. Si sa anche che f (0) = 9, f (3) = 6 e f (5) = 3.

 

 

  • Per quale valore di x la funzione f presenta il suo minimo assoluto? Sapendo che \int_0^6f'(t)dt=-5 per quale valore di x la funzione f presenta il suo massimo assoluto?

 

Dal grafico della derivata osserviamo che:

    \[f'(x) \leq 0 \mbox {  se  } x \in [0;5] \quad \mbox { e } \quad f'(x) \geq 0 \mbox {  se  } x \in [5;6].\]

 

Da questo deduciamo che f è decrescente nell’intervallo [0;5] e crescente in [5;6]. Quindi la funzione f ammetterà punto di minimo in corrispondenza di x=5.

Quindi, si nota anche che il punto di massimo assoluto la funzione lo può avere solo agli estremi del dominio, e quindi dovremo confrontare i valori assunti dalla funzione nei punti di ascissa 0 e 6.

 

Poichè f' è derivata di f, abbiamo che f è per definizione una primitiva di f'. Sfruttando il teorema fondamentale del calcolo integrale, otteniamo che:

    \[\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a).\]

Nel caso specifico

    \[-5=\int_0^6 f'(x)dx=f(6)-f(0)=f(6)-9 \Rightarrow f(6)=4.\]

Quindi il massimo assoluto si avrà per x=0.

 

 

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