Problema 1.4 P.N.I. 2012

Della funzione f, definita per 0 \leq x \leq 6 , si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua  derivata f '(x), disegnato a lato, presenta due tangenti orizzontali per x = 2 e x = 4. Si sa anche che f (0) = 9, f (3) = 6 e f (5) = 3.

 

 

Sia g la funzione definita da g(x) = x f (x). Si trovino le equazioni delle rette tangenti ai grafici di f e di g nei rispettivi punti di ascissa x = 3 e si determini la misura, in gradi e primi sessagesimali, dell’angolo acuto che esse formano.

 

Sappiamo che il coefficiente angolare della retta tangente a t in x=3 è dato da f'(3)=1.

Quindi, l’equazione della retta tangente s è:

    \[s: y-f(3)=f'(3)(x-3) \Rightarrow \begin{cases} f(3)=6 \\ f'(3)=1 \end {cases} \Rightarrow s:y=-x+9.\]

 

Analogamente per g(x)=xf(x).

Usando la formula di derivazione del prodotto otteniamo:

    \[g'(x)=f(x)+xf'(x),\]

quindi:

    \[g'(3)=f(3)+3f'(3)=6-3=3,\]

e la retta tangente t è:

    \[t: y-g(3)=g'(3)(x-3) \Rightarrow \begin{cases} g(3)=18 \\ g'(3)=3 \end {cases} \Rightarrow t:y=3x+9.\]

Sfruttando la relazione m=tg(\theta), troviamo gli angoli \theta_1 e \theta_2 e ricaviamo \alpha come supplementare di \beta=\theta_1-\theta_2.

    \[\theta_1=tg^{-1}(g'(3))=tg^{-1}(3)=71^\circ 33'\]

    \[\theta_2=tg^{-1}(f'(3))=tg^{-1}(-1)=-45^\circ.\]

Avremo allora:

    \[\beta=116^\circ 33' \Rightarrow \alpha=180^\circ-\beta=63^\circ 67'.\]

 

 

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