Problema 1.4 Scientifico 2012

Siano f e g le funzioni definite, per tutti gli x reali, da

    \[f(x)=|27x^3| \quad \quad \mbox { e } \quad \quad  g(x)= sen \left( \frac 32 \pi x\right).\]

 

La regione R, ruotando attorno all’asse x, genera il solido S e, ruotando attorno all’asse y, il solido T. Si scrivano, spiegandone il perchè, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi di S e di T.

 

L’integrale definito relativo al volume del solido S è dato da:

    \[\int_0^\frac 13 \pi sen^2 \left(\frac 32 \pi x \right ) dx - \int_0^\frac 13 \pi \left ( 27x^3 \right)^2 dx= \int_0^\frac 13 \pi \left[ sen^2 \left(\frac 32 \pi x \right )-\left ( 27x^3 \right)^2 \right] dx .\]

Dove con il primo integrale si calcola il volume ottenuto facendo ruotare l’area sottesa a g a cui poi viene sottratto il volume ottenuto facendo ruotare l’area sottesa a f.

 

Per il volume di T il procedimento è lo stesso fatto per S applicato alle inverse di f e g.

Le inverse sono f^{-1}(x)=\frac 13 \sqrt[3] x e g^{-1}(x)=\frac {2}{3\pi} arcsen(x).

L’integrale definito relativo al volume di T è quindi dato da:

    \[\int_0^1 \pi \left[\left(\frac 13 \sqrt[3] x \right)^2- \left (\frac {2}{3\pi} arcsen(x) \right)^2 \right ] dx.\]

 

 

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