Problema 2.2 P.N.I. 2012

Siano f e g le funzioni definite da f (x)=e^x e g(x)=ln x.

 

La regione R, ruotando attorno all’asse x, genera il solido S e, ruotando attorno all’asse y, il solido T. Si scrivano, spiegandone il perché, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi di S e di T.

 

Nell’intervallo [\frac 12;1] il logaritmo è negativo. Osserviamo che \left|logx \right|<e^x \quad \forall x \in [\frac 12;1].

Infatti e^x è crescente, \left| logx \right| è decrescente in [\frac 12;1], e e^{\frac 12}>\left|log(\frac 12) \right|.

Quindi, il solido che si ottiene facendo ruotare la regione di piano R è la stessa che si ottiene facendo ruotare la regione di piano sottesa ad e^x tra [\frac 12;1], poichè essa girando copre il volume ottenuto dalla rotazione della regione di piano compresa tra l’asse x e log x.

L’integrale definito del volume è quindi: \int_{\frac 12}^1 \pi (e^x)^2 dx.

Per il volume di T procediamo considerando prima la rotazione di piano sottesa da e^x; per fare ciò, ci serve sapere la funzione inversa di e^x che è proprio logx. Per ottenere il volume richiesto, calcoliamo il volume del cilindro di raggio 1 e altezza f(1)=e e gli sottraiamo i volumi del cilindro di raggio 1/2 e altezza f(\frac 12)=\sqrt e e della regione di spazio ottenuta facendo ruotare e^x intorno all’asse y tra le ordinate \sqrt e e e:

    \[V^+=1^2 \pi e - \left(\frac 12 \right)^2 \pi \sqrt e - \int_{\sqrt e}^e \pi \left(logx \right)^2 dx.\]

La regione compresa tra l’asse x e logx da invece origine al volume:

    \[V^-=\int_{log(\frac 12)}^0 \pi e^{2x}dx- \left(\frac 12\right)^2 \pi \left(-log(\frac 12)\right).\]

Abbiamo che e^x è la funzione inversa del logaritmo che abbiamo integrato tra le ordinate log(\frac 12) e 0, a cui sottraiamo il volume del cilindro di raggio 1/2 e altezza -log(\frac12).

Il volume di T è dato da V^++V^-.

 

 

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