Problema 2.3 P.N.I. 2012

Siano $f$ e $g$ le funzioni definite da $f (x)=e^x$ e $g(x)=ln x$ .

Fissato $x_0 > 0$ , si considerino le rette $r$ e $s$ tangenti ai grafici di $f$ e di $g$ nei rispettivi punti di ascissa $x_0$ . Si dimostri che esiste un solo $x_0$ per il quale $r$ e $s$ sono parallele. Di tale valore $x_0$ si calcoli un’approssimazione arrotondata ai centesimi.

Consideriamo $f'(x)=e^x$ e $g'(x)=\frac 1x$ . Le rette tangenti a $f$ e $g$ in $x_0$ sono rispettivamente:

$y-e^{x_0}=e^{x_0}(x-x_0)$ e $y-log(x_0)=\frac {1}{x_0}(x-x_0)$ .

I coefficienti angolari di queste due rette sono $e^{x_0}$ e $\frac {1}{x_0}$ .

Cerchiamo i valori di $x_0$ tali che $e^{x_0}=\frac {1}{x_0}$ e quindi che le rette siano parallele.

Tracciando il grafico ci accorgiamo che il punto $x_0$ è unico.

Troviamolo approssimativamente con il metodo di bisezione:

$\frac 12 <x<1 \quad \begin{cases} h(1)=e \\ h(\frac 12)= 1,64 \end{cases} \quad \begin{cases} k(1)=1 \\ k(\frac 12)=2 \end{cases}$

$\frac 12 <x<\frac 34 \begin{cases} h(\frac 34)=2,117 \\ h(\frac 12)= 1,64 \end{cases} \quad \begin{cases} k(\frac 34)=1,333 \\ k(\frac 12)=2 \end{cases}$

$\frac 12 <x<\frac 58 \begin{cases} h(\frac 58)=1,868 \\ h(\frac 12)= 1,64 \end{cases} \quad \begin{cases} k(\frac 58)=1,6 \\ k(\frac 12)=2 \end{cases}$

$\frac {9}{16} <x<\frac 58 \begin{cases} h(\frac 58)=1,868 \\ h(\frac {9}{16})= 1,755 \end{cases} \quad \begin{cases} \quad k(\frac 58)=1,6 \\ k(\frac {9}{16})=1,77 \end{cases}$

$\frac {9}{16} <x<\frac {19}{32} \begin{cases} h(\frac {19}{32})=1,810 \\ h(\frac {9}{16})= 1,755 \end{cases} \quad \begin{cases} \quad k(\frac {19}{32})=1,684 \\ k(\frac {9}{16})=1,77 \end{cases}$

$\frac {9}{16} <x<\frac {37}{64} \begin{cases} h(\frac {37}{64})=1,782 \\ h(\frac {9}{16})= 1,755 \end{cases} \quad \begin{cases} \quad k(\frac {37}{64})=1,72 \\ k(\frac {9}{16})=1,77 \end{cases}$

$\frac {9}{16} <x<\frac {73}{128} \begin{cases} h(\frac {73}{128})=1,768 \\ h(\frac {9}{16})= 1,755 \end{cases} \quad \begin{cases} \quad k(\frac {73}{128})=1,753 \\ k(\frac {9}{16})=1,77 \end{cases}$

$\frac {145}{256} <x<\frac {73}{128} \begin{cases} h(\frac {73}{128})=1,768 \\ h(\frac {145}{256})= 1,761 \end{cases} \quad \begin{cases} \quad k(\frac {73}{128})=1,753 \\ k(\frac {145}{256})=1,765 \end{cases}$

$\frac {145}{256} <x<\frac {291}{512} \begin{cases} h(\frac {291}{512})=1,765 \\ h(\frac {145}{256})= 1,761 \end{cases} \quad \begin{cases} \quad k(\frac {291}{512})=1,759 \\ k(\frac {145}{256})=1,765 \end{cases}$

Quindi:

$\frac {145}{256} <x<\frac {291}{512}.$

$0,566<x<0,568.$

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