Problema 2.4 P.N.I. 2012

Siano f e g le funzioni definite da f (x)=e^x e g(x)=ln x.

 

Sia h(x) = f(x) - g(x). Per quali valori di x la funzione h(x) presenta, nell’intervallo chiuso \frac 12\leq x \leq 1 il minimo e il massimo assoluti? Si illustri il ragionamento seguito.

h(x)=e^x-logx

h(\frac 12)=\sqrt e +log2

h(1)=e

e inoltre

h(1)>h(\frac 12).

Calcoliamo la derivata di h(x):

h'(x)=e^x-\frac 1x.

Si nota dal grafico precedente che

  • h'(x) è negativo per \x \in [\frac 12; x_0],
  • h'(x)=0 per x=x_0,
  • h'(x) è positivo per \x \in [ x_0;1].

Pertanto possiamo affermare che x_0 è un punto di minimo assoluto e il massimo assoluto si avrà in uno dei due estremi, e quindi, per quanto detto prima, per x=1.

 

 

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