Problema 2.4 P.N.I. 2012

Siano $f$ e $g$ le funzioni definite da $f (x)=e^x$ e $g(x)=ln x$ .

Sia $h(x) = f(x) - g(x)$ . Per quali valori di $x$ la funzione $h(x)$ presenta, nell’intervallo chiuso $\frac 12\leq x \leq 1$ il minimo e il massimo assoluti? Si illustri il ragionamento seguito.

$h(x)=e^x-logx$

$h(\frac 12)=\sqrt e +log2$

$h(1)=e$

e inoltre

$h(1)>h(\frac 12)$ .

Calcoliamo la derivata di $h(x)$ :

$h'(x)=e^x-\frac 1x$ .

Si nota dal grafico precedente che

$h'(x)$ è negativo per $\x \in [\frac 12; x_0]$ ,
$h'(x)=0$ per $x=x_0$ ,
$h'(x)$ è positivo per $\x \in [ x_0;1]$ .

Pertanto possiamo affermare che $x_0$ è un punto di minimo assoluto e il massimo assoluto si avrà in uno dei due estremi, e quindi, per quanto detto prima, per $x=1$ .

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