Problema 2.3 Scientifico 2012

Nel primo quadrante del sistema di riferimentoOxy sono assegnati l’arco di circonferenza di centro O e estremi A(3, 0) e B(0, 3) e l’arco L della parabola d’equazione x^2=9-6y i cui estremi sono il punto A e il punto (0, 3/2).

 

 

  • Si calcoli il volume del solido ottenuto dalla rotazione di R intorno all’asse x.

 

Sia V_C il volume della semisfera generata dalla rotazione del sottografico di C attorno all’asse x.

Sia V_L il volume del solido generato dalla rotazione del sottografico di L attorno all’asse x.

Sia V_R il volume del solido generato dalla rotazione del sottografico di R attorno all’asse x.

Troviamo i volumi di V_C e V_L:

    \[V_C=\left [ \frac 43 \pi (3)^3\right] \cdot \frac 12 = 18 \pi\]

    \[V_L= \int_0^3 \pi \left[l(x)\right]^2dx=\pi \int_0^3 \left(-\frac 16x^2+\frac 32 \right)^2dx=\pi \int_0^3 \left(\frac {x^4}{36}- \frac {x^2}{2}+ \frac {9}{4} \right ) dx =\]

    \[=\pi \left[ \frac {x^5}{180} - \frac {x^3}{6}+ \frac 94x \right]_0^3=\frac {18}{5}\pi\]

.

Quindi:

    \[V_R=V_C-V_L=18 \pi - \frac {18}{5}\pi=\frac {72}{5}\pi.\]

 

 

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