Problema 2.4 Scientifico 2012

Nel primo quadrante del sistema di riferimentoOxy sono assegnati l’arco di circonferenza di centro O e estremi A(3, 0) e B(0, 3) e l’arco L della parabola d’equazione x^2=9-6y i cui estremi sono il punto A e il punto (0, 3/2).

 

 

  • Si provi che l’arco L è il luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti internamente all’arco AB e all’asse x. Infine, tra le circonferenze di cui L è il luogo dei centri si determini quella che risulta tangente anche all’arco di circonferenza di centro A e raggio 3, come nella figura a lato.

 

Sia P(x_P;y_P) il centro di \gamma, circonferenza tangente a C in T e all’asse x in H.

Allora i raggi OT e PT, rispettivamente di C e di \gamma, sono entrambi perpendicolari a t, e quindi O,P e T risultano allineati.

Quindi:

    \[PT=OT-OP=3-\sqrt {x_P^2+y_P^2}.\]

Inoltre PH=y_P, e poichè PT=PH, si ha:

    \[y_P=3-\sqrt {x_P^2+y_P^2}.\]

da cui: x_P^2+6y_P-9=0, che è proprio l’equazione di L.

 

Ora, detta C' la circonferenza di centro A e raggio 3, si ha C' simmetrica di C rispetto ad a:x=\frac 32.

Chiamiamo Q la circonferenza tangente a C, C' e all’asse x.

Detto L' il luogo dei centri delle circonferenze tangenti internamente a C' e all’asse x, si ha L' simmetrico di L rispetto ad a. Allora necessariamente Z, centro di Q, appartiene sia a L che a L' e cade quindi sull’asse a.

Per cui, x_Z=\frac 32 e y_Z=l(\frac 32)=\frac 98.

La circonferenza Q, di centro Z, ha equazione:

    \[Q:  \left ( x-\frac 32\right)^2 + \left( y-\frac 98 \right)^2 = \left( \frac 98 \right)^2\]

ovvero:

    \[Q: x^2+y^2-6x-\frac 94 y + \frac 94=0\]

 

 

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