Problema 2.1 Scientifico 2013

Sia f la funzione definita, per tutti gli x reali, da f(x )=\frac {8}{4+x^2}.

 

Si studi f e se ne disegni il grafico \Phi in un sistema di coordinate cartesiane Oxy . Si scrivano le equazioni delle tangenti a \Phi nei punti P (- 2; 1) e Q (2; 1) e si consideri il quadrilatero convesso che esse individuano con le rette OP e OQ . Si provi che tale quadrilatero è un rombo e si determinino le misure, in gradi e primi sessagesimali, dei suoi angoli.

 

Studiamo la funzione.

La funzione è algebrica razionale fratta.

Notiamo subito che il dominio coincide con l’insieme dei numeri reali in quanto il denominatore

4+x^2=0 \not \forall x \in R,

anzi, addirittura sarà sempre positivo.

Quindi avremo:

D=R.

E’ una funzione pari in quanto:

f(x)=\frac {8}{4+x^2}=\frac {8}{4+(-x)^2}=f(-x).

Non avrà intersezione con l’asse delle ascisse perchè il denominatore non si annulla mai, mentre invece interseca l’asse delle ordinate nel punto (0;2).

Come già detto, la funzione sarà sempre positiva perchè il numeratore è un numero, e il denominatore è la somma di due quadrati, quindi sempre strettamente positivo.

Studiamo i limiti agli estremi del dominio:

\lim_{x \to \pm \infty} f(x)=0^+.

La funzione quindi avrà l’asse delle ascisse come asintoto orizzontale.

Studiamo la derivata prima:

f'(x)=\frac {-16x}{(4+x^2)^2}.

Avremo quindi che f'(x) >0 \LeftRightarrow x<0, ovvero f(x) è crescente per x<0 e decrescente quando x>0.

In x=0 avremo quindi punto di massimo (0;2), che è poi l’intersezione che avevamo già trovato.

Calcoliamo la derivata seconda:

f''(x)=\frac {-16(4+x^2)^2+16x(2(4+x^2)2x)}{(4+x^2)^4}=16\frac {4x^2-4-x^2}{(4+x^2)^3}=16\frac {3x^2-4}{(4+x^2)^3}.

Quindi avremo che la derivata seconda si annulla per:

3x^2-4=0 \LeftRightarrow x=\pm \sqrt {\frac 43}=\pm 2 \frac {\sqrt 3}{3}.

Quindi avremo che f''(x)>0, ovvero f(x) è convessa quando x<-2 \frac {\sqrt 3}{3} \quad \lor \quad x > 2 \frac {\sqrt 3}{3}, e f''(x)<0, ovvero f(x) è concava quando -2 \frac {\sqrt 3}{3}<x<2 \frac {\sqrt 3}{3}.

Di conseguenza f(x) ammette flessi in x= \pm 2 \frac {\sqrt 3}{3}.

Passiamo ora alla seconda parte del problema:

per trovare le rette tangenti a f(x) nei punti richiesti, calcoliamo anzitutto le loro pendenze, ovvero f'(2) e f'(-2).

Sappiamo che

f'(2) è opposta a f'(-2), dato che f(x) è pari e quindi f(-x) sarà dispari. Dunque:

f'(2)=-16\frac {2}{(4+2^2)^2}=-\frac {32}{64}=-\frac 12;

la tangente in Q è y=\frac 12(x+2)+1=\frac 12 x+2 :r_1.

Di conseguenza la retta tangente in P sarà:y=-\frac 12x+2:r_2.

 

Per dimostrare che il quadrilatero convesso che r_1 e r_2 individuano con le rette OP e OQ è un rombo, scrivo le equazioni delle rette OP e OQ:

    \[y=\frac 12x:r_3 \quad \quad \quad y=-\frac 12x:r_4\]

,

Osservo che r_1 è parallela a r_3 e r_2 è parallela a r_4 perchè hanno gli stessi coefficienti angolari, ed anche che x=0 e y=1 sono le due diagonali del quadrilatero e sono perpendicolari; dunque, la figura è un parallelogramma con le diagonali perpendicolarei, ovvero un Rombo!!!.

Infine, le misure degli angoli:

Poichè il coefficiente angolare di r_3 è tan(\theta), allora \theta=tan^{-1}\left(\frac12\right)=26,56^\circ.

Di conseguenza:

    \[\alpha=180^\circ-2\theta=126,88^\circ, \quad \quad \beta=180^\circ-\alpha=53,12^\circ\]

.

 

 

 

 

Altri esercizi simili

(Questa pagina è stata visualizzata da 26 persone)

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

La matematica spiegata passo passo