Sia la funzione definita, per tutti gli
reali, da
.
Si studi e se ne disegni il grafico
in un sistema di coordinate cartesiane
. Si scrivano le equazioni delle tangenti a
nei punti
(- 2; 1) e
(2; 1) e si consideri il quadrilatero convesso che esse individuano con le rette
e
. Si provi che tale quadrilatero è un rombo e si determinino le misure, in gradi e primi sessagesimali, dei suoi angoli.
Studiamo la funzione.
La funzione è algebrica razionale fratta.
Notiamo subito che il dominio coincide con l’insieme dei numeri reali in quanto il denominatore
,
anzi, addirittura sarà sempre positivo.
Quindi avremo:
.
E’ una funzione pari in quanto:
.
Non avrà intersezione con l’asse delle ascisse perchè il denominatore non si annulla mai, mentre invece interseca l’asse delle ordinate nel punto .
Come già detto, la funzione sarà sempre positiva perchè il numeratore è un numero, e il denominatore è la somma di due quadrati, quindi sempre strettamente positivo.
Studiamo i limiti agli estremi del dominio:
.
La funzione quindi avrà l’asse delle ascisse come asintoto orizzontale.
Studiamo la derivata prima:
.
Avremo quindi che , ovvero
è crescente per
e decrescente quando
.
In avremo quindi punto di massimo
, che è poi l’intersezione che avevamo già trovato.
Calcoliamo la derivata seconda:
.
Quindi avremo che la derivata seconda si annulla per:
.
Quindi avremo che , ovvero
è convessa quando
, e
, ovvero
è concava quando
.
Di conseguenza ammette flessi in
.
Passiamo ora alla seconda parte del problema:
per trovare le rette tangenti a nei punti richiesti, calcoliamo anzitutto le loro pendenze, ovvero
e
.
Sappiamo che
è opposta a
, dato che
è pari e quindi
sarà dispari. Dunque:
;
la tangente in Q è .
Di conseguenza la retta tangente in P sarà:.
Per dimostrare che il quadrilatero convesso che e
individuano con le rette
e
è un rombo, scrivo le equazioni delle rette
e
:
,
Osservo che è parallela a
e
è parallela a
perchè hanno gli stessi coefficienti angolari, ed anche che
e
sono le due diagonali del quadrilatero e sono perpendicolari; dunque, la figura è un parallelogramma con le diagonali perpendicolarei, ovvero un Rombo!!!.
Infine, le misure degli angoli:
Poichè il coefficiente angolare di è
, allora
.
Di conseguenza:
.
Altri esercizi simili
- Problema 2.1 Scientifico 2013
- Problema 2.2 Scientifico 2013
- Problema 2.3 Scientifico 2013
- Problema 2.4 Scientifico 2013
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