Problema 2.4 Scientifico 2013

Sia f la funzione definita, per tutti gli x reali, da f(x )=\frac {8}{4+x^2}.

 

La regione R, ruotando attorno all’asse y , genera il solido W. Si scriva, spiegandone il perchè, ma senza calcolarlo, l’integrale definito che fornisce il volume di W.

 

Invertiamo la funzione f, invertibile perchè monotona nell’intervallo [0;2].  Otteniamo così

    \[g(y)=\sqrt {\frac 8y-4}=2\sqrt {\frac 2y-1}\]

nell’intervallo [1;2].

Quindi possiamo calcolare il volume del solido di rotazione usando la formula dell’integrale di rotazione della funzione definita a tratti:

h(y)=\begin{cases} g(y) \quad y \in [1;2] \\ 2 \quad \quad  \, y \in [0;1] \end {cases} \quad \quad \mbox{ Dunque}:

    \[V(W)=\pi \int_0^2 \left[h(y)\right]^2dy=\pi \int_1^2\left(2\sqrt {\frac 2y-1}\right)^2dy+\pi\int_0^1 (2^2)dy\]

.

 

 

 

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