Problema 2.2 Scientifico 2013

Sia f la funzione definita, per tutti gli x reali, da f(x )=\frac {8}{4+x^2}.

 

Sia \Gamma la circonferenza di raggio 1 e centro (0; 1). Una retta t , per l’origine degli assi, taglia \Gamma oltre che in O in un punto A e taglia la retta d’equazione y = 2 in un punto B. Si provi che, qualunque sia t , l’ascissa x di B e l’ordinata y di A sono le coordinate (x; y) di un punto di \Phi.

 

La retta t ha equazione y=mx, con m \in R-0.

La circonferenza \Gamma ha equazione x^2+(y^2-1)=1.

Poichè A è un punto in comune tra t e \Gamma, trovo l’intersezione generica tra le due curve:

    \[x^2+ (mx-1)^2=1 \, \, \Rightarrow \, \, (1+m^2)x^2-2mx=0 \, \, \Rightarrow \, \, x\left[(1+m^2)x-2m\right]=0\]

.

Ne segue che, a parte la soluzione banale x=0, x_A=\frac {2m}{1+m^2} e quindi y_A=\frac {2m^2}{1+m^2}.

Più facile risulta l’intersezione di t con la retta y=2:

2=mx \Rightarrow x_B=\frac 2m.

Verifichiamo dunque che (x_B;y_A) \in \Phi, ovvero y_A=f(x_B). Si tratta dunque di dimostrare che:

    \[\frac {2m}{1+m^2}=\frac {8}{4+\left(\frac 2m \right)^2}\]

.

Infatti:

    \[\frac {8}{4+\left(\frac 2m \right)^2}=\frac {8}{4+\frac {4}{m^2} }=\frac {2}{1+\frac {1}{m^2} }=\frac {2m}{1+m^2}\]

.

 

 

 

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