Problema 2.2 Scientifico 2013

Sia $f$ la funzione definita, per tutti gli $x$ reali, da $f(x )=\frac {8}{4+x^2}$ .

Sia $\Gamma$ la circonferenza di raggio 1 e centro (0; 1). Una retta $t$ , per l’origine degli assi, taglia $\Gamma$ oltre che in O in un punto A e taglia la retta d’equazione $y = 2$ in un punto B. Si provi che, qualunque sia $t$ , l’ascissa $x$ di B e l’ordinata $y$ di A sono le coordinate $(x; y)$ di un punto di $\Phi$ .

La retta $t$ ha equazione $y=mx$ , con $m \in R-0$ .

La circonferenza $\Gamma$ ha equazione $x^2+(y^2-1)=1$ .

Poichè A è un punto in comune tra $t$ e $\Gamma$ , trovo l’intersezione generica tra le due curve:

$x^2+ (mx-1)^2=1 \, \, \Rightarrow \, \, (1+m^2)x^2-2mx=0 \, \, \Rightarrow \, \, x\left[(1+m^2)x-2m\right]=0$

.

Ne segue che, a parte la soluzione banale $x=0$ , $x_A=\frac {2m}{1+m^2}$ e quindi $y_A=\frac {2m^2}{1+m^2}$ .

Più facile risulta l’intersezione di $t$ con la retta $y=2$ :

$2=mx \Rightarrow x_B=\frac 2m$ .

Verifichiamo dunque che $(x_B;y_A) \in \Phi$ , ovvero $y_A=f(x_B)$ . Si tratta dunque di dimostrare che:

$\frac {2m}{1+m^2}=\frac {8}{4+\left(\frac 2m \right)^2}$

.

Infatti:

$\frac {8}{4+\left(\frac 2m \right)^2}=\frac {8}{4+\frac {4}{m^2} }=\frac {2}{1+\frac {1}{m^2} }=\frac {2m}{1+m^2}$

.

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