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Marco scrive: Esercizio razionalizzazione

Oggetto: Dubbio in matematica-Razionalizzazione del denominatore

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Salve, oggi ho fatto il compito di matematica sui radicali, e volevo verificare se ho svolto correttamente questo esercizio:

Grazie mille

 

Risposta dello staff

    \[\frac {xy}{3\sqrt {yz}}=\frac {xy}{3\sqrt {yz}} \cdot \frac {\sqrt {yz}}{\sqrt {yz}}=\]

    \[=\frac {xy\sqrt {yz}}{3yz}=\frac 13 \frac {x\sqrt {yz}}{z}\]

 

 

 

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Leandro scrive: Disequazioni irrazionali

Oggetto: Disequazioni irrazionali

Corpo del messaggio:

 

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  • \sqrt { \left | x \right| +1}<3

Distinguiamo due casi:

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt { x  +1}<3 \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\ \sqrt { -x  +1}<3 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\  x  +1< 9 \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\  -x  +1< 9 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\  x  < 8 \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\  -x  < 8 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\  x  < 8 \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\  x  > - 8 \end{cases}\]

Quindi avremo che il primo sistema sarà verificato per:

    \[0 \leq x <8\]

e il secondo per

    \[-8<x<0.\]

 

Unendo le due soluzioni otteniamo:

    \[-8<x<8.\]

  • \sqrt { \left | x \right| +1}<1-x

Distinguiamo due casi:

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt { x  +1}<1-x \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\ \sqrt { -x  +1}<1-x \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ 1-x \geq 0 \\  x  +1<1-2x+x^2 \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\1-x \geq 0 \\  1 -x < 1-2x+x^2 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ x \leq 1 \\  x^2-3x >0 \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\x \leq 1 \\  x^2-x>0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ x \leq 1 \\  x<0 \quad \lor \quad x>3 \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\x \leq 1 \\  x<0 \quad \lor \quad x>1 \end{cases}\]

Quindi avremo che il primo sistema non è mai verificato, mentre il secondo, che darà la soluzione della disequazione iniziale, sarà verificato per

    \[x<0.\]

  • \sqrt{1+x^2}<2-\left|x\right|

Essendo 1+x^2 sempre positivo, ci limiteremo a studiare:

    \[\begin{cases} 2- \left|x\right| >0 \\ 1+x^2<4+x^2-4 \left|x \right|\end{cases}\]

    \[\begin{cases} -2 <x<2\\ 4\left| x \right |<3\end{cases}\]

    \[\begin{cases} -2 <x<2\\ -\frac 34 <x<\frac 34\end{cases}\]

Intersecando il tutto otteniamo:

    \[-\frac 34 <x<\frac 34.\]

 

 

 

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Salvatore scrive: Disequazione irrazionale

Oggetto: disequazioni irrazionali

Corpo del messaggio:
CAM00183

 

 

  •     \[\sqrt {x^2-x}<x+1\]

Avendo una radice quadrata minore di un polinomio avremo necessità di lavorare solo su un sistema, imponendo determinate condizioni:

\begin{cases} x^2-x \geq 0 \\ x+1>0 \\ x^2-x < x^2+2x+1 \end{cases}

\begin{cases} x^2-x \geq 0 \\ x>-1 \\ 3x>-1\end{cases}

Senza bisogno di fare grossi calcoli possiamo direttamente dire che la prima e la terza disequazione sono verificate per

    \[x \leq 0 \quad \lor \quad x \geq 1\]

 

    \[x >-\frac 13\]

 

 

Unendo

\begin{cases} x \leq 0 \quad \lor \quad x \geq 1 \\ x>-1 \\ x > -\frac 13  \end{cases}

Mettendo a sistema le soluzioni, otterremo subito che la soluzione sarà:

    \[-\frac 13 <x\leq 0 \quad \lor \quad x \geq 1\]

.

 

  • \frac {\sqrt{1-x}}{2}> \frac {\sqrt{1+x}}{3}

Verifichiamo subito le condizioni di esistenza, e quindi avremo:

    \[\begin{cases} 1-x \geq 0 \\ 1+x \geq 0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \leq 1 \\ x \geq -1\end{cases}\]

Quindi, se ammette soluzioni, queste devono essere in -1 \leq x \leq 1.

Eleviamo tutto al quadrato ottenendo:

    \[\frac 14(1-x) > \frac 19 (1+x)\]

    \[9-9x > 4+4x\]

    \[13x < 5\]

    \[x< \frac {5}{13}.\]

Intersecando questa soluzione con le condizioni di esistenza, otteniamo:

    \[-1 \leq x < \frac {5}{13}\]

 

 

 

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Leandro scrive: Equazioni irrazionali e con moduli

Oggetto: Equazioni irrazionali e con moduli

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Per l’esercizio n. 1 allegato chiedo che  venga svolto con le condizioni di esistenza e non con la verifica delle soluzioni.

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Distinti saluti

 

  • \sqrt[6]{3(1-x)}-\sqrt[3]{3x-1}=0

Essendoci una radice di indice pari, svolgeremo il sistema, imponendo come condizione la positività del radicando stesso:

    \[\begin{cases} \sqrt[6]{3(1-x)}=\sqrt[3]{3x-1} \\ 3(1-x) \geq 0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} 3(1-x)=(3x-1)^2 \\ x \leq 1\end{cases}\]

    \[\begin{cases} 3-3x=9x^2-6x+1 \\ x \leq 1\end{cases}\]

    \[\begin{cases} 9x^2-3x-2=0 \\ x \leq 1\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x_{\frac 12}=\frac {3 \pm \sqrt {9+72}}{18} \\ x \leq 1\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x_{\frac 12}=\frac {3 \pm \sqrt {81}}{18} \\ x \leq 1\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x_{\frac 12}=\frac {3 \pm 9}{18} \\ x \leq 1\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x_1=-\frac 13 \quad x_2=\frac 23 \\ x \leq 1\end{cases}.\]

La prima soluzione è ovviamente da scartare in quanto, essendo la radice di indice dispari portatrice del segno (ovvero radice di segno positivo rimane positiva, e radice di segno negativo, rimane negativa, dobbiamo imporre come condizione iniziale che, essendoci una differenza, anche il radicando della radice cubica sia positivo. Avremo così:

    \[\begin{cases} x_1=-\frac 13 \quad x_2=\frac 23 \\ x \leq 1 \\ x geq 13\end{cases}\]

che darà come soluzione solo x=\frac 23.

  • \left| 1+2x - \left |x+2 \right| \right| =x-1

Distinguiamo subito due sistemi:

    \[\begin{cases} x \geq -2 \\ \left| 1+2x - x-2 \right| =x-1 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x < -2 \\ \left| 1+2x +x+2  \right| =x-1 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq -2 \\ \left| x-1 \right| =x-1 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x < -2 \\ \left| 3x +3  \right| =x-1 \end{cases}\]

Dai due sistemi si potrebbe intuire subito la soluzione, ma svolgiamo prima i calcoli, notando che dovremmo avere due sistemi per ogni sistema creato:

  • primo sistema:

    \[\begin{cases} x \geq -2 \\ x \geq 1 \\  x-1  =x-1 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x \geq -2 \\ x < 1 \\1-x =x-1 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 1 \\  0x  =0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -2 \leq x < 1 \\x =1 \end{cases}\]

Il primo sistema quindi ammetterà come soluzione x \geq 1, mentre il secondo sarà impossibile.

  • secondo sistema:

    \[\begin{cases} x < -2 \\ x \geq -1 \\ 3x +3  =x-1 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x < -2 \\  x < -1 \\ -3x -3 =x-1 \end{cases}\]

Si vede subito che il primo sistema è impossibile; analizziamo solo il secondo:

    \[\begin{cases} x < -2  \\ -4x  =2 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x < -2  \\ x  =-\frac 12 \end{cases}\]

quindi è impossibile anche il secondo.

L’equazione iniziale sarà quindi verificata per ogni x \geq 1.

 

  • \sqrt {\left|2x-6\right|}=\left|x\right| -x

Notiamo subito che, in questo caso, studiare la positività del radicando, è superfluo, essendo un modulo sempre positivo per definizione, e che il secondo termine sarà anch’esso sempre positivo, in quanto il minimo valore che potrà assumere, qualore l’incognita fosse positiva sarà 0.

Quindi avremo semplicemente che:

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ 2x-6 =0\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x <0 \\ 6-2x=4x^2\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ x =3\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x <0 \\ 4x^2+2x-6=0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ x =3\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x <0 \\ 2x^2+x-3=0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ x =3\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x <0 \\ x_{\frac 12}=\frac {-1 \pm \sqrt {1+24}}{4}\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ x =3\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x <0 \\ x_{\frac 12}=\frac {-1 \pm \sqrt {25}}{4}\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ x =3\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x <0 \\ x_{\frac 12}=\frac {-1 \pm 5}{4}\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ x =3\end{cases} \quad \quad \begin{cases} x <0 \\ x_1=-\frac 32 \quad x_2=1\end{cases}\]

Il primo sistema sarà verificato per x=3, mentre il secondo sarà verificato solo per x=-\frac 32.

 

 

 

 

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