Leandro scrive: Disequazioni irrazionali

Oggetto: Disequazioni irrazionali

Corpo del messaggio:

 

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  • \sqrt { \left | x \right| +1}<3

Distinguiamo due casi:

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt { x  +1}<3 \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\ \sqrt { -x  +1}<3 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\  x  +1< 9 \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\  -x  +1< 9 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\  x  < 8 \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\  -x  < 8 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\  x  < 8 \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\  x  > - 8 \end{cases}\]

Quindi avremo che il primo sistema sarà verificato per:

    \[0 \leq x <8\]

e il secondo per

    \[-8<x<0.\]

 

Unendo le due soluzioni otteniamo:

    \[-8<x<8.\]

  • \sqrt { \left | x \right| +1}<1-x

Distinguiamo due casi:

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt { x  +1}<1-x \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\ \sqrt { -x  +1}<1-x \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ 1-x \geq 0 \\  x  +1<1-2x+x^2 \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\1-x \geq 0 \\  1 -x < 1-2x+x^2 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ x \leq 1 \\  x^2-3x >0 \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\x \leq 1 \\  x^2-x>0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \geq 0 \\ x \leq 1 \\  x<0 \quad \lor \quad x>3 \end{cases} \quad \quad  \begin{cases}x < 0 \\x \leq 1 \\  x<0 \quad \lor \quad x>1 \end{cases}\]

Quindi avremo che il primo sistema non è mai verificato, mentre il secondo, che darà la soluzione della disequazione iniziale, sarà verificato per

    \[x<0.\]

  • \sqrt{1+x^2}<2-\left|x\right|

Essendo 1+x^2 sempre positivo, ci limiteremo a studiare:

    \[\begin{cases} 2- \left|x\right| >0 \\ 1+x^2<4+x^2-4 \left|x \right|\end{cases}\]

    \[\begin{cases} -2 <x<2\\ 4\left| x \right |<3\end{cases}\]

    \[\begin{cases} -2 <x<2\\ -\frac 34 <x<\frac 34\end{cases}\]

Intersecando il tutto otteniamo:

    \[-\frac 34 <x<\frac 34.\]

 

 

 

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