Salvatore scrive: Disequazione irrazionale

Oggetto: disequazioni irrazionali

Corpo del messaggio:
CAM00183

 

 

  •     \[\sqrt {x^2-x}<x+1\]

Avendo una radice quadrata minore di un polinomio avremo necessità di lavorare solo su un sistema, imponendo determinate condizioni:

\begin{cases} x^2-x \geq 0 \\ x+1>0 \\ x^2-x < x^2+2x+1 \end{cases}

\begin{cases} x^2-x \geq 0 \\ x>-1 \\ 3x>-1\end{cases}

Senza bisogno di fare grossi calcoli possiamo direttamente dire che la prima e la terza disequazione sono verificate per

    \[x \leq 0 \quad \lor \quad x \geq 1\]

 

    \[x >-\frac 13\]

 

 

Unendo

\begin{cases} x \leq 0 \quad \lor \quad x \geq 1 \\ x>-1 \\ x > -\frac 13  \end{cases}

Mettendo a sistema le soluzioni, otterremo subito che la soluzione sarà:

    \[-\frac 13 <x\leq 0 \quad \lor \quad x \geq 1\]

.

 

  • \frac {\sqrt{1-x}}{2}> \frac {\sqrt{1+x}}{3}

Verifichiamo subito le condizioni di esistenza, e quindi avremo:

    \[\begin{cases} 1-x \geq 0 \\ 1+x \geq 0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x \leq 1 \\ x \geq -1\end{cases}\]

Quindi, se ammette soluzioni, queste devono essere in -1 \leq x \leq 1.

Eleviamo tutto al quadrato ottenendo:

    \[\frac 14(1-x) > \frac 19 (1+x)\]

    \[9-9x > 4+4x\]

    \[13x < 5\]

    \[x< \frac {5}{13}.\]

Intersecando questa soluzione con le condizioni di esistenza, otteniamo:

    \[-1 \leq x < \frac {5}{13}\]

 

 

 

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