Eleonora scrive: Studio di funzione

Pubblicato il 1 Luglio 20141 Luglio 2014 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: studio di una funzione : ricerca dei massimi e dei minini,intersezione con gli assi ed eventuali asintoti

Corpo del messaggio:
Mi potreste aiutare? Grazie 🙂
$y= \frac {3x^4 -2x^2 -4}{x^3}$

Risposta dello staff

Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, imponiamo che il denominatore sia diverso da 0 e quindi il dominio sarà: $\mathbb{R} - \{ 0 \}$ .

Simmetrie e periodicità

$-f(x)=\frac {-3x^4+2x^2+4}{x^3}$

$f(-x)=\frac {3x^4-2x^2-4}{-x^3}$

Questa funzione non avrà simmetrie.

Intersezioni con gli assi

$\begin{cases} y=0 \\ 3x^4-2x^2-4=0 \end{cases}$

$\begin{cases} y=0 \\ 3x^4-2x^2-4=0 \end{cases}$

La funzione, quindi, avrà una sola intersezione con gli assi:

$\left (0;1 \right)$ .

Segno della funzione

Studiamo la positività di $f(x)$ :

$\frac {1}{(1-2x)^3} \geq0$

$(1-2x)^3 >0$

$x < \frac 12$

condizione agli estremi

$\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 0$

$y=0$ è anche asintoto orizzontale.

Asintoti

$\lim_{ x \rightarrow \frac 12^-} f(x)= \frac {1}{0^+}=+\infty$

$\lim_{ x \rightarrow \frac 12^+} f(x)= \frac {1}{0^-}=-\infty$

$x=\frac 12$ è un asintoto verticale.

Studio della derivata prima

$y'=\frac {6}{(1-2x)^4}$

$y' \geq 0$

Dato che questa disequazione è sempre verificata, $\forall x \in \mathbb{ R}$ , avremo che la funzione sarà crescente nei due intervalli:

$\left(-infty;\frac 12 \right)$ e $\left ( \frac 12 ; + \infty \right)$

Non annullandosi mai la derivata prima questa funzione non avrà ne massimi ne minimi.

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