Francesco scrive: segno, limite, equazione

Pubblicato il 24 Giugno 201425 Giugno 2014 da Lo Staff4 commenti

Oggetto: segno, limite, equazione

Corpo del messaggio:
Salve, devo fare urgentemente questi 3 esercizi ma non ci capisco nulla, potreste darmi una mano?

ho caricato il file con gli esercizi

1)

$\lim_{x \to 1} \frac {x^3+2x^2-3x}{x^2-1}=\frac {0}{0}$

Essendo una forma indeterminata riscriviamolo in questo modo:

$\lim_{x \to 1} \frac {x(x^2+2x-3)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x \to 1} \frac {x(x+3)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=$

$=\lim_{x \to 1} \frac {x(x+3)}{x+1}=\frac 32$

2)

$y=\frac {1}{1+x^2}$

Il punto di ascissa $x=2$ avrà ordinata:

$y=\frac {1}{1+4}=\frac 15$

Il coefficiente angolare nel punto 2 lo ricaviamo calcolando la derivata nel punto quindi:

$y'=\frac {-2x}{(1+x^2)^2}$

$y'(2)=\frac {-4}{25}$

Quindi, una generica retta avrà equazione:

$y=mx+q$

ricaviamo q sostituendo i valori trovati precedentemente, ovvero le coordinate del punto $\left(2;\frac {1}{5}\right)$ , ed il coefficiente angolare $m=-\frac {4}{25}$ :

$\frac 15=-\frac {4}{25} \cdot 2+q$

$q=\frac 15+\frac {8}{25}$

$q=\frac {5+8}{25}$

$q=\frac {13}{25}$

La retta sarà quindi:

$y=-\frac {1}{25}(4x-13)$

3)

Per calcolare il segno della funzione, basterà studiare la positività della frazione:

$y=\frac {x^2-5x+4}{x^2-3x}$

$y \geq 0$

$\frac {x^2-5x+4}{x^2-3x}\geq 0$

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

$x^2-5x+4 \geq0$

$(x-4)(x-1) \geq0$

$x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 4$

$x^2-3x >0$

$x(x-3)>0$

$x <0 \quad \lor \quad x >3$

Mettendo a sistema le soluzioni otteniamo:

$f(x) >0 \iff x<0 \quad \lor \quad 1<x<3 \quad \lor \quad x>4$

$f(x) < 0 \iff 0<x<1 \quad \lor \quad 3<x<4$

$f(x) =0 \iff x=1 \quad \lor \quad x=4$

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4 pensieri riguardo “Francesco scrive: segno, limite, equazione”

Francesco ha detto:

24 Giugno 2014 alle 14:19

scusate potete spiegarmi meglio i passaggi, come avete ottenuto il raccoglimento della X.. come avete ottenuto l’ordinata dell’ascissa ecc…

Rispondi
1. Edo ha detto:
  
  24 Giugno 2014 alle 15:09
  
  Credo di aver scritto i passaggi in modo chiaro. Comunque, per i 2 casi ai quali hai fatto riferimento, per l’esercizio 1 ho semplicemente messo in evidenza la x al numeratore; per l’esercizio 2 ho sostituito il valore della x, l’ascissa, alla funzione data, per ottenere la y, ovvero l’ordinata.
  
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Francesco ha detto:

25 Giugno 2014 alle 06:33

Scusa, puoi spiegarmi meglio come hai ottenuto la q e come hai calcolato la derivata?

Rispondi
1. Lo Staff ha detto:
  
  25 Giugno 2014 alle 10:55
  
  ho inserito tutti i passaggi per ricavare la q, e per la derivata basta prendere ad esempio la formula che trovi al link:
  derivata di una funzione
  
  Rispondi

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