Ginevra scrive: Matematica 1.4

Determinare il numero di radici reali dell’equazione, motivandone la risposta.

x^3-x+\sqrt 3=0

Risposta dello staff

Sapendo che:

    \[\lim_{x \to \pm \infty} (x^3-x+\sqrt 3)= \pm \infty\]

avremo che di sicuro questa equazione avrà una radice reale.

Studiando invece la derivata prima della funzione:

f(x)=x^3-x+\sqrt 3

ovvero:

f'(x)=3x^2-1

e trovando i massimi e i minimi:

f'(x) \geq 0 \iff x \leq -\frac{\sqrt 3}{3} \quad \lor \quad x \geq \frac{\sqrt 3}{3},

sostituendoli nella funzione iniziale ci darà dei valori che ci permetteranno di capire quante soluzioni ammetterà l’equazione iniziale:

f(-\frac{\sqrt 3}{3})=-\frac{3\sqrt 3}{27}+\frac{\sqrt 3}{3}+\sqrt 3=\frac{-\sqrt 3+3\sqrt 3 + 9 \sqrt 3}{9}=\frac{11\sqrt 3}{9}>0

f(\frac{\sqrt 3}{3})=\frac{3\sqrt 3}{27}-\frac{\sqrt 3}{3}+\sqrt 3=\frac{\sqrt 3-3\sqrt 3 + 9 \sqrt 3}{9}=\frac{7\sqrt 3}{9}>0

Quindi, essendo il minimo un numero positivo, questa ammetterà una sola radice reale.

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