Ginevra scrive: Matematica 1.1

f(x)=\begin{cases} \frac{x+1}{x-1} \quad \, x \leq 0 \\ -1+e^{-\frac 1x} \quad \, x>0 \end{cases}

Risposta dello staff

Studiamo il dominio della funzione.

Nel primo tratto l’unico valore da escludere sarebbe x=1, ma non appartiene al tratto. Nel secondo sarebbe da escludere x=0, ma anche qui non appartiene al dominio.

Di conseguenza avremo che il dominio è tutto \mathbb{R}

Studiamo la positività dei due tratti:

\frac{x+1}{x-1} \geq 0

x\leq -1 \quad \lor \quad x>1

Quindi, nel tratto considerato avremo che:

f(x)>0 \iff x<-1

f(x)=0 \iff x=-1

f(x)<0 \iff -1<x\leq 0

Studiamo il secondo tratto:

-1+e^{-\frac 1x} \geq 0

e^{-\frac 1x} \geq 1

-\frac 1x \geq 0

Ma quindi, nel tratto considerato non si verificherà mai e unendo le due soluzioni, l’unica cosa che si modifica è:

f(x)<0 \iff x > -1

Studiamo i limiti negli estremi del dominio ed in 0 per la continuità:

    \[\lim_{x \to -\infty} f(x)=1\]

    \[\lim_{x \to 0^-} f(x)=-1\]

    \[\lim_{x \to 0^+} f(x)=-1\]

    \[\lim_{x \to -\infty} f(x)=0\]

Quindi in x=0 la funzione è continua.

Studiamo ora la derivata prima:

f'(x)=\begin{cases} \frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} \quad \, x \leq 0 \\ \frac{1}{x^2}e^{-\frac 1x} \quad \, x>0 \end{cases}

f'(x)=\begin{cases} \frac{-2)}{(x-1)^2} \quad \, x \leq 0 \\ \frac{1}{x^2}e^{-\frac 1x} \quad \, x>0 \end{cases}

E’ facile capire che per  x \leq 0 la derivata prima è negativa, mentre per x>0 è sempre positiva.

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