Esercizio 14 Disequazioni goniometriche di vario tipo

Traccia

3 tg x + 2 cos x < 0

Svolgimento

3\frac {senx}{cosx} +2cosx<0

\frac {3senx+2cos^2x}{cosx}<0

\frac {3senx+2(1-sen^2x)}{cosx}<0

\frac {3senx+2-2sen^2x}{cosx}<0

Cambiamo il segno al numeratore ed anche il verso della disequazione ottenendo:

\frac {2sen^2x-3senx-2}{cosx}>0

\frac {(2senx+1)(senx-2)}{cosx}>0

Distinguiamo in tre casi separati e poi studiamo insieme le soluzioni:

  • senx>-\frac 12

0 \leq  x < \frac 76 \pi \quad \lor \quad \frac {11}{6} \pi <x  \leq 2 \pi

  • senx>2

Impossibile

  • cosx  > 0

0\leq x < \frac 12 \pi \quad \lor \quad \frac 32 \pi <x\leq 2 \pi

Analizziamo il grafico

(0;\frac12 \pi) (\frac12 \pi; \frac 76 \pi) (\frac 76\pi;\frac 32\pi) (\frac 32\pi; \frac {11}{6} \pi) (\frac {11}{6}\pi; 2 \pi)
senx >- \frac 12 +++ +++ —- —- +++
senx > 2 —- —- —- —- —-
cosx>0 +++ —- —- +++ +++
Ris —- +++ —- +++ —-

Da questo otteniamo il risultato della disequazione:

\frac 12 \pi <x < \frac 76 \pi \quad \lor \quad   \frac 32 \pi < x <  \frac {11}{6}\pi.
 

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