Esercizio 15 Disequazioni goniometriche di vario tipo

Traccia

cos x < \frac 32 tg x

Svolgimento

cos x -  \frac {3sen x}{2cosx}<0

\frac {2cos^2x -3sen x}{2cosx}<0

\frac {2(1-sen^2x) -3sen x}{2cosx}<0

\frac {2-2sen^2x -3sen x}{2cosx}<0

Cambiamo il segno del numeratore e del verso della disuguaglianza ottenendo:

\frac {2sen^2x +3sen x-2}{2cosx}>0

\frac {(2senx-1)(sen x+2)}{2cosx}>0

Distinguiamo in tre casi separati e poi studiamo insieme le soluzioni:

  • senx>\frac 12

\frac 16 \pi <  x < \frac 56 \pi

  • senx>-2

\forall x \in R

  • cosx  > 0

0\leq x < \frac 12 \pi \quad \lor \quad \frac 32 \pi <x\leq 2 \pi

Analizziamo il grafico

(0;\frac16 \pi) (\frac16 \pi; \frac 12 \pi) (\frac 12\pi;\frac 56\pi) (\frac 56\pi; \frac {3}{2} \pi) (\frac {3}{2}\pi; 2 \pi)
senx > \frac 12 —- +++ +++ —- —-
senx > -2 +++ +++ +++ +++ +++
cosx>0 +++ +++ —- —- +++
Ris —- +++ —- +++ —-

Da questo otteniamo il risultato della disequazione:

\frac 16 \pi <x < \frac 12 \pi \quad \lor \quad   \frac 56 \pi < x <  \frac {3}{2}\pi.
 

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