Esercizio 5 Sistemi di equazioni goniometriche

Traccia

\begin{cases} senx + seny = \frac {\sqrt 3 + \sqrt 2}{2} \\ 4sen x sen y = \sqrt 6  \end{cases}

Svolgimento

Se riscriviamo il sistema in questo modo:

\begin{cases} senx + seny = \frac {\sqrt 3 + \sqrt 2}{2} \\ sen x sen y = \frac {\sqrt 6}{4}  \end{cases}

ci ritroviamo nella situazione di un sistema a noi già noto, dove abbiamo la somma e il doppio prodotto delle due radici, ovvero, rivedendolo in questo modo (usiamo t come incognita per evitare ridondanze):

\begin{cases} t_1 +t_2 = \frac {\sqrt 3 + \sqrt 2}{2} \\ t_1t_2 = \frac {\sqrt 6}{4}  \end{cases}

e risolveremmo l’equazione di secondo grado:

t^2-\frac {\sqrt 3 + \sqrt 2}{2}t+\frac {\sqrt 6}{4}=0.

 

Ma senza fare grossi calcoli ci accorgiamo subito che le due soluzioni sono implicite nell’esercizio, infatti le coppie di risultati sono:

  • \begin{cases} senx = \frac {\sqrt 3}{2} \\ seny = \frac {\sqrt 2}{2}  \end{cases} oppure
  • \begin{cases} seny = \frac {\sqrt 3}{2} \\ senx = \frac {\sqrt 2}{2}  \end{cases}

Troviamo solo una soluzione, tanto l’altra sarà speculare, e basterà scambiare x con y. Analizziamo la prima, e avremo:

\begin{cases} senx = \frac {\sqrt 3}{2} \\ seny = \frac {\sqrt 2}{2}  \end{cases}

\begin{cases} x =\pm 30^\circ +k360^\circ \\ y = 45^\circ+k360^\circ \quad \lor \quad y=135^\circ +k360^\circ  \end{cases}

 

 

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