Esercizio 4 integrali per parti

\int 2x log (x-5) \mathrm{d}x

f(x)= log(x-5) \rightarrow  f'(x)= \frac {1}{x-5}

g'(x)= 2x \rightarrow g(x)= x^2

\int 2x log (x-5) \mathrm{d}x = x^2log(x-5) - \int \frac {x^2}{x-5} \mathrm{d}x

Analizziamo solo la seconda parte:

 \int \frac {x^2}{x-5} \mathrm{d}x= \int \frac {x^2-25+25}{x-5} \mathrm{d}x= \int \left(\frac {(x+5)(x-5)}{x-5} + \frac {25}{x-5}\right) \mathrm{d}x=

=\frac 12 x^2+5x+25log(x-5)

Andando ad inserire questo risultato nell’integrale precedente otteniamo:

\int 2x log (x-5) \mathrm{d}x=x^2log(x-5) -\frac 12 x^2-5x-25log(x-5)+c

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