Ellisse

L’ellisse è il luogo geometrico dei punti P(x;y) del piano per i quali la somma delle loro distanze da due punti fissi F_1, F_2, detti fuochi, si mantiene costante (tale valore rappresenta la lunghezza dell’asse maggiore).

 Per l’ellisse con centro nell’origine O(0;0) e assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani si distinguono due casi.

 a,b,c \in R^+ a>b    \overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a b>a    \overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2b
 equazione canonica  \frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1 \frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1
 coordinate vertici  A_1(-a;0),
A_2(a;0), B_1(0;-b),
B_2(0;b)
A_1(-a;0),
A_2(a;0), B_1(0;-b),
B_2(0;b)
 coordinate fuochi  F_1(-c;0), F_2(c;0) F_1(0;-c), F_2(0;c)
 relazione tra i parametri  a^2-b^2=c^2 b^2-a^2=c^2
 lunghezza asse maggiore  \overline {A_1A_2}=2a \overline {B_1B_2}=2b
 distanza focale  \overline{F_1F_2}=2c \overline{F_1F_2}=2c
 eccentricità e, 0\leq e <1  e=\frac c a =\frac {\sqrt {a^2-b^2}}{a} e=\frac c b =\frac {\sqrt {b^2-a^2}}{b}

 Caso particolare: se a=b l’ellisse è una circonferenza di equazione x^2+y^2=a^2, con centro C=O(0;0), raggio r=a ed eccentricità e=0.

L’ellisse è detta traslata se ha centro in un punto C(x_C;y_C), x_C\neq 0 o y_C \neq 0, e assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani, di equazioni x=x_C e y=y_C. La sua equazione è:

\frac {(x-x_C)^2}{a^2}+\frac {(y-y_C)^2}{b^2}=1,

ha vertici: A_1(x_C-a;y_C),A_2(x_C+a;y_C), B_1(x_C;y_C-b) e B_2(x_C;y_C+b)

e fuochi: F_1(x_C-c;y_C),F_2(x_C+c;y_C) se a>b

               F_1(x_C;y_C-c),F_2(x_C;y_C+c) se a<b.

 

 

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