Punto retta

  • La distanza tra due punti  A(x_A;y_A) e B(x_B;y_B) è data dalla relazione

d(A;B)=\overline{AB}=\sqrt {(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.

Nel caso in cui i due punti abbiano la stessa ascissa o la stessa ordinata la loro distanza è data da:

d(A;B)=\overline{AB}=|y_B-y_A| sex_A=x_B;

d(A;B)=\overline{AB}=|x_B-x_A| sey_A=y_B.

  • Il punto medio M di un segmento AB di estremi A(x_A;y_A) e B(x_B;y_B) ha coordinate:

x_M=\frac {x_A+x_B}{2}, y_M=\frac {y_A+y_B}{2} .

  • L’equazione di una retta si può presentare in:
  1. forma implicita         ax+by+c=0 con a,b,c \in R.
  2. forma esplicita        y=mx+q con m=-\frac a b, q=-\frac c b e b\neq 0,

dove m è il coefficiente angolare e q il termine noto o ordinata all’origine.

Tra le rette particolari ricordiamo:

  1. asse x: y=0; asse y: x=0;
  2. parallela all’asse x: y=k (k\inR);  parallela all’asse y: x=h (h\in R);
  3. bisettrice I-III quadrante y=x;  bisettrice II-IV quadrante y=-x.
  • La retta di coefficiente angolare m e passante per il punto P(x_1;y_1) ha equazione:

y-y_1=m(x-x_1).

In particolare, la retta passante per l’origine O(0;0) è:

y=mx.

L’insieme di rette y-y_1=m(x-x_1) prende anche il nome di fascio di rette di centro o sostegno P.

  • La retta passante per i punti P(x_1;y_1) e Q(x_2;y_2) con x_1\neq x_2 e y_1\neq y_2, ha equazione

\frac {y-y_1}{y_2-y_1}=\frac {x-x_1}{x_2-x_1} o anche y-y_1=\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)

con

m=\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac {\Delta y}{\Delta x}.

Nel caso in cui i due punti abbiano la stessa ascissa x_1 o la stessa ordinata y_1, la retta da essi individuata ha equazione:

x=x_1 oppure y=y_1.

  • Due rette r ed s, non parallele all’asse y, e rispettivamente di coefficiente angolare m e m' sono tra loro:
  1. parallele se e solo se m=m'
  2. perpendicolari se e solo se mm'=-1 o m=-\frac{1}{m'}.
  • La distanza del punto P(x_0;y_0) dalla retta r di equazione ax+by+c=0 [y=mx+q] è data dalle formule:

d(P;r)=\frac {|ax_0+by_0+c|}{\sqrt {a^2+b^2}}       [d(P;r)=\frac {|y_0-mx_0-q|}{\sqrt {1-m^2}}.

Se i punti A(x_A;y_A), B(x_B;y_B) e C(x_C;y_C) non sono allineati (per verificarlo basta determinare l’equazione della retta passante per due di essi e constatare che il terzo punto non le appartiene, cioè le sue coordinate non soddisfano l’equazione), l’area del triangolo ABC è data dal seguente valore assoluto del determinante

 

A(ABC)=\frac 1 2 |det \begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}|

 

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