Parabola

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano P(x;y) equidistanti da un punto F detto fuoco e da una retta d detta direttrice . I punti della parabola sono pertanto tutti i punti del piano che soddisfano la condizione dist(P;F)=dist(P;d).

La retta passante per F e perpendicolare a d prende il nome di asse della parabola, essendo tale retta asse di simmetria per la parabola, e la interseca in un punto V detto vertice..

Generalmente si considerano solo parabole con asse parallelo agli assi coordinati; pertanto si possono presentare i due casi:

  asse parallelo asse y (asse verticale) asse parallelo asse x (asse orizzontale)
equazione cartesiana parabola y=ax^2+bx+c  x=ay^2+by+c 
coordinate vertice V(-\frac {b}{2a};-\frac {\Delta}{4a})  V(-\frac {\Delta}{4a};-\frac {b}{2a}) 
coordinate fuoco F(-\frac{b}{2a};\frac {1-\Delta}{4a})  F(\frac {1-\Delta}{4a};-\frac{b}{2a}) 
equazione direttrice y=\frac {-1- \Delta}{4a} x=\frac {-1- \Delta}{4a} 
equazione asse  x=-\frac {b}{2a}=x_V  y=-\frac {b}{2a}=y_V 

 con a\neq 0 e \Delta=b^2-4ac discriminante del trinomio di secondo grado che compare nell’equazione cartesiana della parabola.

Se a>0, la parabola rivolge la concavità verso l’alto, ovvero verso la direzione positiva dell’asse y (verso destra, ovvero la direzione positiva dell’asse x); se a<0 la parabola rivolge la concavità verso il basso, ovvero verso la direzione negativa dell’asse y (verso sinistra, ovvero verso la direzione negativa dell’asse x).

Dal valore di a dipende, oltre alla concavità, anche l’apertura della parabola.

La generica parabola di vertice V(x_V;y_V) ha equazione

y-y_V=a(x-x_V)^2 [x-x_V=a(y-y_V)^2].

In particolare, se V = O(0;0), quest’ultima diventa:

y=ax^2 [x=ay^2].

E’ possibile valutare la posizione di una parabola, di equazione  y=ax^2+bx+c, rispetto a una retta di equazione a'x+b'y+c=0 osservando che la ricerca delle loro intersezioni equivale alla ricerca delle soluzioni comuni tra l’equazione della parabola e l’equazione della retta, ovvero alla determinazione delle soluzioni del sistema di secondo grado

 

\bigg \{\begin{array}{rl} y=ax^2+bx+c  \\ a'x+b'y+c'=0 \\ \end{array}

 

la cui equazione risolvente, ottenuta per sostituzione, risulta quasi sempre essere di secondo grado nella variabile x (è opportuno infatti ricavare y).

 

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