Iperbole

L’iperbole è il luogo geometrico dei punti P(x;y) del piano per i quali il valore assoluto della differenza delle loro distanze da due punti fissi F_1, F_2, detti fuochi, si mantiene costante (tale valore rappresenta la lunghezza dell’asse trasverso).

Per l’iperbole con centro nell’origine O(0;0) e assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani si distinguono due casi:

 

a,b,c \in R^+ asse trasverso asse x |\overline {PF_1}-\overline {PF_2}|=2a asse trasverso asse y |\overline {PF_1}-\overline {PF_2}|=2b
equazione canonica \frac {x^2}{a^2}-\frac {y^2}{b^2}=1 \frac {x^2}{a^2}-\frac {y^2}{b^2}=-1
 coordinate vertici A_1(-a;0), A_2(a;0) B_1(0;-b), B_2(0;b)
 coordinate vertici non reali B_1(0;-b), B_2(0;b) A_1(-a;0), A_2(a;0)
 coordinate fuochi F_1(-c;0), F_2(c;0) F_1(0;-c), F_2(0;c)
 relazione tra i parametri a^2+b^2=c^2  a^2+b^2=c^2
 lunghezza asse trasverso  \overline{A_1A_2}=2a \overline{B_1B_2}=2b
 lunghezza asse non trasverso  \overline{B_1B_2}=2b \overline{A_1A_2}=2a
 distanza focale  \overline{F_1F_2}=2c \overline{F_1F_2}=2c
 eccentricità e, e>1 e=\frac c a =\frac {\sqrt {a^2+b^2}}{a}  e=\frac c b =\frac {\sqrt {a^2+b^2}}{b}
 equazione asintoti y=\pm \frac b a x y=\pm \frac b a x

L’iperbole è detta traslata se ha centro in un punto C(x_C;y_C) e assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani, di equazioni x=x_C e y=y_C. Si presentano due casi:

 

a,b,c \in R^+ asse trasverso parallelo all’asse x |\overline {PF_1}-\overline {PF_2}|=2a asse trasverso parallelo all’asse y |\overline {PF_1}-\overline {PF_2}|=2b
equazione canonica \frac {(x-x_C)^2}{a^2}-\frac {(y-y_C)^2}{b^2}=1 \frac {(x-x_C)^2}{a^2}-\frac {(y-y_C)^2}{b^2}=-1
 coordinate vertici A_1(x_C-a;y_C), A_2(x_C+a;y_C) B_1(x_C;y_C-b), B_2(x_C;y_C+b)
 coordinate vertici non reali B_1(x_C;y_C-b), B_2(x_C;y_C+b) A_1(x_C-a;y_C), A_2(x_C+a;y_C)
 coordinate fuochi F_1(x_C-c;y_C), F_2(x_C+c;y_C) F_1(x_C;y_C-c), F_2(x_C;y_C+c)
 relazione tra i parametri a^2+b^2=c^2  a^2+b^2=c^2
 lunghezza asse trasverso  \overline{A_1A_2}=2a \overline{B_1B_2}=2b
 lunghezza asse non trasverso  \overline{B_1B_2}=2b \overline{A_1A_2}=2a
 distanza focale  \overline{F_1F_2}=2c \overline{F_1F_2}=2c
 eccentricità e, e>1 e=\frac c a =\frac {\sqrt {a^2+b^2}}{a}  e=\frac c b =\frac {\sqrt {a^2+b^2}}{b}
 equazione asintoti y=\pm \frac b a (x-x_C)-y_C y=\pm \frac b a (x-x_C)-y_C

 

L’iperbole riferita agli assi aventa asse trasverso di lunghezza uguale a quella dell’asse non trasverso, ovvero a=b, viene detta iperbole equilatera riferita agli assi, e ha equazione:

  • \frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{a^2}=1, ovvero x^2-y^2=a^2, se i fuochi appartengono all’asse x,
  • \frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{a^2}=-1, ovvero x^2-y^2=-a^2, se i fuochi appartengono all’asse y.

In entrambi i casi la relazione a^2+b^2=c^2 diventa 2a^2=c^2, da cui c=\sqrt 2 a. Perciò l’eccentricità risulta essere

e=\frac {\sqrt 2 a}{a}=\sqrt 2

e gli asintoti coincidono con le bisettrici dei quadranti, di equazioni y=\pm x.

Se si applica una rotazione di 45°, o di 135°, si ottiene l’iperbole equilatera riferita agli asintoti, con equazione xy=k, k\in R^+.

Si distinguono due casi, dipendenti dal segno della costante k.

  • k>0

Vertici: V_1(-\sqrt k; -\sqrt k) e V_2(\sqrt k; \sqrt k);

F_1, F_2 \in x-y=0;

a=\sqrt{2k}; c=2\sqrt k; F_1(-\sqrt {2k};-\sqrt {2k});F_2(\sqrt {2k}; \sqrt {2k}).

  • k<0

Vertici: V_1(-\sqrt {-k}; -\sqrt {-k}) e V_2(\sqrt  {-k}; \sqrt {-k});

F_1, F_2 \in x+y=0;

a=\sqrt{-2k}; c=2\sqrt -k; F_1(-\sqrt {-2k};-\sqrt {-2k});F_2(\sqrt {-2k}; \sqrt {-2k}).

Se si applica una traslazione all’iperbole equilatera riferita agli asintoti si ottiene la funzione omografica di equazione

y=\frac {ax+b}{cx+d}, a,b,c,d \in R, con ad-bc\neq 0 e c\neq 0,

avente dominio D=\{\forall x \in R | x \neq -\frac d c\} .

Il centro di simmetria ha coordinate

C(-\frac d c; \frac a c),

le equazioni degli asintoti sono

x=-\frac d c e y=\frac a c;

gli assi di simmetria sono paralleli alle bisettrici dei quadranti, passano per il centro C e hanno equazioni

y=\pm (x-x_C)-y_C.

Si osserva che se c=0, la funzione omografica degenera nella retta di equazione

y=\frac a d x +\frac b d,

mentre se ad-bc=0, ovvero \frac a c = \frac b d , a=\frac {bc} d la funzione omografica degenera nella retta di equazione

y=\frac b d.

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