Esercizio 4 Problemi sul teorema di Talete e le sue applicazioni

Traccia

Nel triangolo rettangolo ABC i cateti AB e AC misurano rispettivamente 3a e 4a e un punto P dell’ipotenusa BC è tale che PB:PC=2:5. Se K è la proiezione di P su AB e H quella di P su AC, si calcoli la misura dell’area del rettangolo AKPH.

 

triangolo rettangolo proiezioni

Svolgimento

Dai dati abbiamo:

AB=3a

AC=4a

e quindi ricaviamo subito l’ipotenusa:

BC=\sqrt {AB^2+AC^2}=\sqrt {9a^2+16a^2}=5a

Poniamo PC = x  e dalla traccia avremo:

PB=\frac 25x

Ricaviamo l’incognita, sapendo che

BC=PB+PC

x + \frac 25x = 5a

\frac 75x = 5a

x = \frac {25}{7}a

Avremo quindi:

PC = \frac {25}{7}a

BP = \frac {10}{7}a.

Per costruzione notiamo che BPK e ABC sono due triangoli simili, e quindi:

PK:AC=  BP:BC

\frac { PK}{4a} = \frac {\frac { 10}{7}a}{5a}

PK=\frac 8 7 a

Allo stesso modo anche CPH risulta simile ad ABC:

PH:AB= PC:BC

\frac { PK}{3a} = \frac {\frac { 25}{7}a}{5a}

PK=\frac {15} {7} a

L’area del rettangolo sarà quindi:

A_{AKPH} = PK \cdot PH = \frac 87 a \cdot \frac {15}{7}a=\frac { 120}{49}a^2

 

 

Altri esercizi simili:

 

(Questa pagina è stata visualizzata da 422 persone)

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

La matematica spiegata passo passo