Esercizio 6 Problemi sul teorema di Talete e le sue applicazioni

Traccia

Nel triangolo ABC sia BD la bisettrice dell’angolo in B. Si sa che AB=91a, che CB supera di 18a il doppio di DC e che AD-DC=5a. Determinare la misura del perimetro di ABC. Quante soluzioni ha il problema?

 

Triangolo con bisettrice

Svolgimento

Dai dati, ponendo CD=x, abbiamo:

AB=91a

CB=2x+18a

AD=5a+x

AC=5a+2x

Dal teorema della bisettrice, sappiamo che:

\frac {AB}{AD}=\frac {CB}{DC}

o meglio:

CB\cdot AD=AB \cdot DC

(2x+18a)(5a+x)=91ax

2x^2+10ax+18ax+90a^2-91ax=0

2x^2-63ax+90a^2=0

(2x-3a)(x-30a)=0

Quindi ammetterà due soluzioni:

x_1=\frac 32 a\, \, \mbox { o } x_2= 30a

Con

DC=\frac 32a

CB=21a

AC=8a

2p=8a+21a+91a=120a

Con

DC=30a

CB=78a

AC=65a

2p=65a+78a+91a=234a

In base a questi due risultati, possiamo escludere la prima soluzione in quanto, in un triangolo, il perimetro deve essere maggiore di 2 volte un qualsiasi lato del triangolo (120a < 2 \cdot 91a=182a), e quindi diventa accettabile solo la seconda.

 

 

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