Quesito 1 PNI 2010

Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è p^{(n)}(x) = n! a_n dove a_n è il coefficiente di x_n.

 

Sia

p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots + a_1x +a_0,

quindi:

p'(x)=a_n n x^{n-1}+a_{n-1}(n-1)x^{n-2}+a_{n-2}(n-2)x^{n-3}+\ldots + a_2 2 x +a_1,

p''(x)=a_n n(n-1) x^{n-2}+a_{n-1}(n-1)(n-2)x^{n-3}+a_{n-2}(n-2)(n-3)x^{n-4}+\ldots + a_2 2.

Senza portarla troppo per le lunghe, dopo n derivazioni le derivate dei termini di grado minore di n si annulleranno mentre rimarrà solo la derivata del termine di grado n che è data da:

    \[p^{(n)}(x)=a_n \cdot n(n-1)(n-2)\ldots 2 \cdot 1 x^{n-n}=a_n n! x^0=a_n n!.\]

 

 

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