Quesito 5 PNI 2010

Sia G il grafico di una funzione x \rightarrow f(x) con x \in R. Si illustri in che modo è possibile stabilire se G è simmetrico rispetto alla retta x=k.

 

Considero un generico punto P(x,y) appartenente alla funzione f(x) e la sua immagine P'(x',y') simmetrico rispetto alla retta x=k. L’appartenenza del punto medio M del segmento PP' alla retta x=k implica le condizioni:

    \[x_M=\frac {x+x'}{2}=k \rightarrow x'=−x+2k \quad \wedge \quad y'=y\]

Pertanto le due equazione che descrivono la simmetria sono:

    \[\sigma_k\begin{cases} x'=−x+2k \\ y'=y \end{cases} \rightarrow \sigma_k^{−1}\begin{cases} x=−x'+2k \\ y=y' \end{cases}\]

Quindi G risulterà simmetrico rispetto alla rettax = k se:

    \[f(−x+2k)=f(x) \quad \quad \forall x \in R\]

 

 

 

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