Quesito 8 PNI 2010

Se n > 3 e \binom{n}{n-1}, \, \binom{n}{n-2}, \, \binom{n}{n-3} sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?

 

Affinchè siano in progressione aritmetica, la differenza tra due termini consecutivi deve essere costante; si deve avere, quindi:

    \[\binom{n}{n-3}-\binom{n}{n-2}=\binom{n}{n-2}-\binom{n}{n-1} \quad \quad \mbox { con } n \geq 3.\]

Sviluppiamo i coefficienti binomiali:

\binom{n}{n-3}=\frac {n!}{(n-3)!3!}=\frac {n(n-1)(n-2)}{6}

\binom{n}{n-2}=\frac {n!}{(n-2)!2!}=\frac {n(n-1)}{2}

\binom{n}{n-1}=\frac {n!}{(n-1)!1!}=n.

Si ha:

\frac {n(n-1)(n-2)}{6}-\frac {n(n-1)}{2}=\frac {n(n-1)}{2}-n

Dividendo per n (sapendo per certo che sia diverso da 0), e facendo il mcm otteniamo:

n^2-2n-n+2-3(n-1)=3(n-1)-6

n^2-9n+14=0

(n-7)(n-2)=0

Quindi avremo due soluzioni:

  • n_1=2 non accettabile
  • n_2=7 accettabile.

 

 

 

Altri esercizi simili

(Questa pagina è stata visualizzata da 7 persone)

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

La matematica spiegata passo passo