Quesito 6 PNI 2010

Si trovi l’equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dal punto P di coordinate (3cost,2sent) al variare di t, 0 \leq t \leq 2\pi.

 

Le coordinate del punto P sono date in forma parametrica, cioè sono espresse tramite due equazioni. Queste due equazioni sono dipendenti ciascuna da un parametro t

    \[t \geq  \quad \wedge \quad t \leq 2 \pi\]

    \[Q: \begin{cases} x=3cost \\ y=2sint \end{cases}\]

per determinare più velocemente il luogo Q conviene togliere la dipendenza dal parametro t rendendo esplicita la relazione tra x e y.

    \[\frac x3=cos t\]

    \[\frac y2=sint\]

Dall’identità fondamentale avrò che:

    \[cos^2t+sin^2t=1  \rightarrow (\frac x3)^2+(\frac y2)^2=1\]

E quindi il luogo Q viene ora descritto come:

    \[Q:\frac {x^2}{9}+\frac {y^2}{4}=1\]

Questa qui risulta essere l’equazione di un’ellissi con centro nell’origine (questa nell’equazione ha semiasse maggiore orizzontale lungo 3 e semiasse minore verticale lungo 2). I vertici di questa ellisse sono A(3,0) – B(0,2) – C(-3,0) – D(0,-2).

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