Quesito 9 PNI 2010

Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB = 3, AC = 2 e A\widehat{B}C=45^\circ. Si provi altresì che se AB = 3, AC = 2 e A\widehat{B}C=30^\circ, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni.

 

Applicando il teorema dei seni al triangolo ABC otteniamo:

\frac {2}{sen (45^\circ)}= \frac {3}{sen \alpha}

sen{\alpha}=\frac 32 sen(45^\circ)=\frac 32 \frac {\sqrt 2}{2}=1,1

Ma ciò non è possibile poichè il sen per definizione deve essere compreso tra -1 e 1. Questo triangolo quindi non può esistere.

Nel caso invece che A\widehat{B}C=30^\circ, invece si ottiene:

\frac {2}{sen (30^\circ)}= \frac {3}{sen \alpha}

sen{\alpha}=\frac 32 sen(30^\circ)=\frac 32 \frac {1}{2}=\frac 34

da cui:

\alpha=arcsen\left( \frac 34 \right)

che darà due soluzioni:

\alpha_1\simeq 49^\circ

\alpha_2\simeq 131^\circ

da cui il terzo angolo sarà:

\beta_1=180^\circ-(49^\circ+30^\circ)=101^\circ

oppure

\beta_1=180^\circ-(131^\circ+30^\circ)=19^\circ.

Esistono quindi due triangoli possibili

 

 

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