Problema 2 P.N.I. 2013

Sia f la funzione definita per tutti gli x positivi da f (x) = x^3 ln x.

 

  1. Si studi f e si tracci il suo grafico \gamma su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali e monometrici Oxy; accertato che \gamma presenta sia un punto di flesso che un punto di minimo se ne calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice, le ascisse arrotondate alla terza cifra decimale.
  2. Sia P il punto in cui \gamma interseca l’asse x. Si trovi l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y , passante per l’origine e tangente a \gamma in P.
  3. Sia R la regione delimitata da \gamma e dall’asse x sull’intervallo aperto a sinistra ] 0, 1]. Si calcoli l’area di R, illustrando il ragionamento seguito, e la si esprima in mm^2 avendo supposto l’unità di misura lineare pari a 1 decimetro.
  4. Si disegni la curva simmetrica di \gamma rispetto all’asse y e se ne scriva altresì l’equazione. Similmente si faccia per la curva simmetrica di \gamma rispetto alla retta y = -1.

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