Quesiti P.N.I. 2013

QUESTIONARIO

 

  1. Un triangolo ha area 3 e due lati che misurano 2 e 3. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la risposta.
  2. Se la funzione f(x)-f(2x) ha derivata 5 in x=1 e derivata 7 in x=2, qual è la derivata della funzione f(x)-f(4x) in x=1?
  3. Si considerino, nel piano cartesiano, i punti A (2; -1) e B (- 6; – 8). Si determini l’equazione della retta passante per B e avente distanza massima da A.
  4. Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l’altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume V del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito.
  5. In un libro si legge: “se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (p.es. 0,38%), esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell’1,14%), mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè di 0,76%)”. È così? Si motivi esaurientemente la risposta.
  6. Con le cifre da 1 a 7 è possibile formare 7! = 5040 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente, qual è il numero che occupa la 5036-esima posizione e quale quello che occupa la 1441-esima posizione?

  7. In un gruppo di 10 persone il 60% ha occhi azzurri. Dal gruppo si selezionano a caso due

    persone. Quale è la  probabilità che nessuna di esse abbia occhi azzurri?

  8. Si mostri, senza utilizzare il teorema di l’Hopital, che

        \[ \lim_{x \to \pi } \frac {e^{senx}-e^{sen(\pi)}}{x-\pi}=-1\]

  9. Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che

    gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri

    reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali che razionali. Chi ha ragione? Si motivi

    esaurientemente la risposta.

  10. Si stabilisca per quali valori k\in R l’equazione x^2 (3 - x) = k ammette due soluzioni distinte

    appartenenti all’intervallo [0, 3]. Posto k = 3, si approssimi con due cifre decimali la maggiore di tali soluzioni, applicando uno dei metodi iterativi studiati.

 

 

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