Quesito 10 P.N.I. 2013

Si stabilisca per quali valori k\in R l’equazione x^2 (3 - x) = k ammette due soluzioni distinte

appartenenti all’intervallo [0, 3]. Posto k = 3, si approssimi con due cifre decimali la maggiore

tali soluzioni, applicando uno dei metodi iterativi studiati.

 

Consideriamo la cubica:

    \[f(x)=x^2(3-x) \quad \mbox { per } \quad x \in [0;3]\]

.

Chiedere che l’equazione x^2(3-x)=k abbia due soluzioni distinte equivale a cercare per quali x la cubica f(x) ha doppia intersezione con le rette orizzontali di livello k.

Dal disegno si osserva che k è compreso tra zero e il \max_{0 \leq x \leq 3} f(x).

 

Determiniamo questo massimo.

f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)

Studiamo il segno della derivata:

-3x(x-2) \geq0

3x(x-2) \leq 0

da cui, avendo 2 soluzioni, 0 e 2, otteniamo:

10

dove il punto di massimo è x=2.

f(2)=4(3-2)=4

Quindi avremo che:

0 \leq k <4.

4 sarà da escludere altrimenti avrei due soluzioni coincidenti.

Sfruttando il metodo del punto medio in [2,3], dove si trova la maggiore delle soluzioni, ponendo g_k(x)=x^2(3-x)-k avremo:

g_3(2)=4-3=1>0

g_3(3)=-3<0.

Per il teorema degli zeri, allora lo zero sarà un numero compreso tra 2 e 3.

Sia M il punto medio di [2;3], e quindi M=\frac 52.

g_{3}(\frac 52)=\frac 18>0.

Allora posso stimare lo zero di g_3(x) con M_2=\frac {11}{4} che è il punto medio di \left[ \frac 52;3 \right ].

 

 

 

 

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